带微积分的物理学/力学/有效数字
前面段落中的“大约”应该让一些人感到不舒服，而且是合理的。为了更精确地表达，我们说“大约”，因为我们不能期望任何数据集都具有精确的关系。即使理论绝对正确，实验中也可能出现很多错误：也许，当我们测量高度时，我们测量了 51.2 厘米，而不是我们应该测量的 50 厘米。或者，更可能的是，我们在弹珠掉落后稍晚才按下秒表的“停止”按钮。
这可能是由于我们的反应时间（从听到弹珠掉落到按下按钮之间的时间）造成的，导致了准确度方面的误差。还有一种类型的误差，称为精度。当秒表记录 1.52 秒时，我们不知道它是否实际上是 1.5187 秒，因为我们的设备，假设它运行良好，只可靠地测量到小数点后两位。这种“准确度”和“精度”之间的区别可以通过以下方式类比射击靶来描述：“高精度”意味着每次射击都相对更靠近彼此；点的分散范围更小。“高准确度”意味着所有射击都靠近目标。对于一组数据，它可以具有“高精度”但“低准确度”，例如，如果我们获得了一台能记录到小数点后四位的更好秒表，但没有解决反应时间问题，我们所有的测量结果都会相对接近彼此，但它们的平均值仍然会与应该的值相差 0.1 秒。我们也可以有“高准确度”但“低精度”，如果我们通过设计一种装置来解决反应时间问题，使秒表在弹珠掉落时自动按下，但秒表本身只可靠地测量到 1/10 秒。
在任何实验中，实现“高精度”、“高准确度”测量都是一个共同的目标。通常，将减少准确度方面的误差视为良好实验技术的一部分，但我们能做到的关于精度方面的误差却很少。虽然更好的设备会有所帮助，但在各种情况下，存在多种类型的基本噪声，即使是最先进的仪器也会受到限制。事实上，这是一个物理学的基本事实，部分原因是量子力学，即不可能进行绝对精确的测量。
因此，这就是我们所说的“大约”。对于每次测量，人们会定义误差边界，这些边界表明人们估计测量值可能偏离多少（使用统计学，诸如“置信度”和标准差之类的概念通常用于使这种含义更加精确）。这通常写成类似于 s 的东西。如果人们发现一条曲线，其中是一个常数，该曲线相对于每个点的误差接近所有数据点，并且误差相对较小，那么人们会说该理论在本次实例中得到了证实。
由于所有实验测量的量都具有一定的不确定性或误差，因此我们还应该说明我们期望测量结果的精度。虽然在进行全面实验时，这可能是一个相当复杂的问题，但对我们来说，一种称为有效数字的约定允许我们以简洁的方式表示误差。简而言之，有效数字表示测量值中存在的有效数字的位数，误差取为在最后一位上。例如，当我们说一根棍子的长度为 1.25 米时，此测量值具有三位有效数字：我们对前两位数字 1 和 2 非常确定，但由于我们不知道最后一位数字之后是什么，因此我们有的不确定性（因为，例如，如果实际数字是 1.256，在四舍五入后，它将是 1.26 米）。另一方面，如果我们说它测量了 1.250 米，那么我们就有四位有效数字。
约定是，“有效数字的位数等于写入的数字的位数，包括小数点后的零”。但是，此约定没有说明“5000 米”有多少位有效数字。它可能意味着它是精确到米的，也可能是一个粗略的估计，只精确到 1000 米——因为没有其他方法来写 5000 米，我们根本无法知道。解决这种歧义的一种方法是使用科学记数法，在科学记数法中，，如果它有三位有效数字。
在使用测量值计算其他物理量时，有效数字的位数至关重要。例如，我们有一块矩形的金属箔，想求出它的面积。我们测量它的边长分别为 12.1 cm 和 27.2 cm。我们知道矩形的面积公式为：，其中 和 分别代表宽度和长度。因此，我们将这两个数字相乘得到 。然而，这个结果的精度具有误导性。而 ，它与我们初始值的有效数字位数相同，更能代表面积的值和我们对其值的置信度。一般规则是：“在对两个数字进行乘除运算时，最终结果的有效数字位数等于有效数字位数较少的那个数字的位数”。因此，当我们把 12 cm 和 27.2 cm 相乘时，我们应该给出答案为 ，或者用科学计数法表示为 。
当我们对两个数字进行加减运算时，规则略有不同：我们不尝试保持相同的有效数字位数，而是尝试保持相同的位数，遵循精度较低的那个数字。例如，。
在应用这些规则时，要牢记常识。这些规则只是粗略的指导，因此我们必须根据实际情况来应用它们。例如，当我们根据一颗弹珠的测量质量 25.2 g 计算两颗弹珠的质量时，我们不能说 ，因为 2 只有一个有效数字。相反，我们将 2 视为一个离散值，它具有无限的有效数字，因此可以说两颗弹珠的重量为 50.4 g。
另外，当我们进行一系列计算时，最好等到最后再进行四舍五入到正确的有效数字位数。否则，会导致“舍入误差”。