微积分物理/力学/功和能

功

功是赋予 (标量) 量的一个特殊名称

$W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}.$

其中 $W$ 是功，$F$ 是物体上的力，$x$ 是位移。由于点积是投影，因此功是力在位移方向上的分量乘以位移。如果力是恒定的，并且物体沿直线运动，则简化为

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {x}}=Fx\cos \theta \$

其中 $W$ 是功，$F$ 是物体上的力，$x$ 是位移。

我们说 W 是“力 F 所做的功”。让我们推导出功和动能之间的一个有用关系。

假设我们有一个作用在物体上的总力 ${\vec {F}}$。那么功是

$\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=\int m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {r}}=m\int {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot {\vec {v}}dt=m\int {\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}=\Delta (mv^{2}/2)=\Delta K$

我在第一步中简单地使用了牛顿第二定律，并在积分中进行了很好的替换。这表明作用在物体上的总力所做的功是该物体动能的变化。事实上，这足以成为将 K 定义为 $mv^{2}/2$ 的动机。

例如，如果你拿着一只苹果，然后将苹果向上移动一点，然后停止，发生了什么？苹果的势能发生了变化，因此有人在做功，尽管动能没有变化——根据我们的定理，这意味着没有做功——怎么会这样？重力对苹果做了 (负) 功，但你也对苹果做了 (正) 功。也就是说，总功为零，虽然你所做的功不为零。请始终记住，是总力改变了动能。

功的另一个有用性质是它在力上是线性的。也就是说，两个力的总功等于每个力所做功的总和。因此，你可以将功解释为每个力赋予物体的动能。在苹果的例子中，一开始你手部的力大于重力，所以动能增加，苹果向上加速。然后，当你减速时，重力做了更多的功，所以总功是负的，苹果减少了动能并停止了。

在一种非常特殊的情况下，功的大小不取决于你如何移动一个粒子，而只取决于起点和终点。这样的场被称为“保守场”。这意味着我们可以引入势能。引力就是一个保守力，令人惊奇的是，这就是为什么我们可以谈论物体的“势能”。这只是为了简化地说，将物体从某个地方（参考点）移动到我们正在谈论的任何地方所需要的功。因此，动能的变化等于势能的负变化，这意味着系统的总能量是恒定的。这实际上就是为什么这种力被称为保守力——它守恒机械能！然而，反过来并不成立。也就是说，如果一个系统守恒机械能，它不一定是一个保守力场。

耗散力，例如摩擦力（它消耗能量），有时被称为非保守力。这有点像一个错误，因为在分子层面上，这些力实际上是保守力。然而，在特定情况下，说能量不守恒往往更方便，即使我们完全清楚能量正在消失到原子的运动或热量中。你会听到许多人说在特定情况下能量不守恒，但当然它守恒；能量总是守恒的。

事实证明，一个力是保守力当且仅当该力是“无旋的”或“无旋度的”，这与向量微积分有关。这意味着如果你放一个桨轮进去，它不会自发地开始转动。这是一个有趣的事实，即根本不存在非保守力！

为了量化一切，我们有非保守力所做的功是物体 *总能量* 的变化。通过总能量，我们指的是势能加上动能，因为总力可以分解为保守力（出现在势能项中）和非保守力（新项）。

功率

功率是做功的速率。为了得出这个有用的表达式，考虑一个短时间间隔 $\Delta t$。在这段时间内做了多少功？好吧，根据功率的定义，它几乎是 $P\Delta t$。根据功的定义，这是 ${\vec {F}}\cdot {\vec {\Delta x}}$，其中 $\Delta x$ 是在 $\Delta t$ 内发生的位移。我们有

$P\Delta t={\vec {F}}\cdot {\vec {\Delta x}}$

所以，

$P={\vec {F}}\cdot {\frac {\vec {\Delta x}}{\Delta t}}$,

当 $\Delta t$ 趋近于零（此时我们的“方程”变得精确）时，

$P={\vec {F}}\cdot {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$.

等效地，我们可以通过简单地对功的表达式进行微分来获得该表达式。无论推导方法如何，它都没有那么重要；我们有一个对功率有用的表达式。

这意味着如果力作用于速度垂直的方向，速度不会改变，因为功为零，因此动能的变化为零。但是等等，这怎么可能呢？因为力必然会导致物体的加速？它确实导致了加速，它改变了运动的方向——加速意味着 *矢量* 速度的导数，而不是速度的大小。事实上，这告诉我们，与速度方向相同的力的分量负责（并且只负责）速度大小的变化，而垂直于速度的力的分量负责（并且只负责）速度方向的变化。为了稍微量化一下，可以证明

${\vec {a}}=||v||{\vec {T}}+{\frac {||v||^{2}}{\rho }}{\vec {N}}$

其中，a 代表加速度，v 代表速度，T 代表单位切向量（与粒子轨迹相切，因此平行于速度向量），N 代表单位法向量（垂直于切向量，方向指向切向量的导数，你可以通过在曲线上绘制两个非常接近的切向量来理解这一点），而 $\rho$ 是曲率半径，它本质上是与该点最匹配的圆的半径（圆的曲率半径就是圆的半径，直线的曲率半径是无穷大）。所有这些概念对于理解物理学并不真正必要，但如果你理解了它们，它将有助于你理解正在发生的事情。请注意，第二项是向心加速度 - 实际上，这就是我们获得向心加速度公式的地方。

最后，只是写出功率的定义，看起来很漂亮，如果功以变化的速率完成，那么

$P={\frac {dW}{dt}}$

如果功以恒定速率完成，那么它就变成了

$P={\frac {W}{\Delta t}}={\frac {\Delta E}{\Delta t}}$.