带微积分的物理学/现代/狭义相对论

狭义相对论

爱因斯坦最著名的理论之一是狭义相对论。相对论解释了相对于彼此运动的系统的动力学。

一个流行的例子是火车上的人观察地面上静止的人。当您从一个角度看待问题时，您可能会认为火车上的人在移动（这是从静止的人的角度来看的）。现在，从移动火车上的人的角度思考这个问题——他认为地面上的人在移动。最终，您可以选择以任何一种方式看待问题——没有正确或错误的答案。一切仅仅取决于您的观点。

所有狭义相对论都可以从两个原理推导出来：

1) 物理学在任何惯性参考系中都是相同的。如果你在高速公路上开车（窗户关着）并扔出一个球，它会像你在停车标志处停下并扔下同一个球一样落下。

2) 没有任何东西可以比光速更快（这应该真正被称为无质量粒子的速度）。这个速度大约是 $3x10^{8}m/s$

严格来说，信息不能比光速传播得更快。可以证明，如果信号比光速传播得更快，在某个参考系中，信息将在发送之前被接收，这是毫无意义的。但是，对于其他事物没有限制。例如，如果我有一个距离屏幕很远的投影仪，我快速地在它前面挥动我的手，阴影将比光速传播得更快。此外，光波的相速度在某些情况下将大于光速。但是，使用这些物体不可能以比光速更快的速度传输任何信号。

我们可以从两个假设推导出所有相对论，但这不会很有启发性，因为这是一个相当技术性的证明。相反，假设爱丽丝在一个相对于鲍勃以速度 v 运动的参考系中。我们称爱丽丝的参考系为 A'，鲍勃的参考系为 A。由此得出

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$y'=y$

$z'=z$

$t'={\frac {t-vx/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$.

将其与伽利略变换进行比较：

$x'=x-vt$

$y'=y$

$z'=z$

$t'=t$.

第一组方程（称为洛伦兹变换）令人惊讶之处在于，如果代入麦克斯韦方程，它们将保持不变！如果您尝试代入第二组方程，您将得到不同的方程。在存在电和磁的地方，伽利略变换一定是错误的。

可以从洛伦兹变换推导出相对论中的所有结果，就像所有非相对论力学都来自伽利略变换和牛顿定律一样。

让我们看看洛伦兹变换的一些性质。首先，变换的逆变换（用带撇号的成分解出不带撇号的成分）给出完全相同的结果，只是 v 被替换为 -v，正如我们所预期的那样。

如果有一个光爆发，由 $x=ct$ 定义，它将保持不变。

四维向量

注意

$x'={\frac {x-(v/c)ct}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$y'=y$

$z'=z$

$ct'={\frac {ct-(v/c)x}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$.

使用新符号：

$x'=\gamma (x-\beta ct)$

$y'=y$

$z'=z$

$ct'=\gamma (ct-\beta x)$.

定义一个四维向量，它是一个具有四个分量的四元组，当它被变换到具有特征 $\beta$ 的新参考系时，其分量按上述方式变换。例如，(x,y,z,ct) 是一个四维向量。如果 $x=(a,b,c,d)$ 是一个四维向量，那么当改变参考系时（当 $\beta$ 位于 x 方向时），我们有 $x'=(\gamma (a-\beta d),b,c,\gamma (d-\beta a))$.