带微积分的物理学/现代物理学/玻尔模型

如果我们有一个电子绕原子核运动，电子就会加速朝向原子核。众所周知，加速的电荷会产生辐射，辐射包含能量。因此，当电子绕轨道运行时，它会损失能量，最终会落入原子核。因此，经典的电子绕原子核运动模型必须是错误的，因为我们不仅没有观察到辐射，而且电子并没有落入原子核。

玻尔提出，电子的角动量只能取离散值，例如 $n\hbar$，其中 n 是任何大于零的整数。因此，电子的能量也是量子化的，所以除非电子获得足够的能量跃迁能级，否则它不能发射光子；也就是说，它不会辐射。

我们将通过一个非常简单的玻尔模型案例。

假设我们有一个质量为 m 的单电子绕一个单质子在一个圆形轨道上运动，角动量为 $n\hbar$，其中 n 是任何大于零的整数。还假设电子的质量与质子的质量相比可以忽略不计。

$L=mvr=n\hbar$

$F={\frac {ke^{2}}{r^{2}}}={\frac {mv^{2}}{r}}$

$v^{2}={\frac {ke^{2}}{mr}}$

$v={\frac {ke^{2}}{mvr}}={\frac {ke^{2}}{n\hbar }}$

$r={\frac {n\hbar }{mv}}=n^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{mke^{2}}}$

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {ke^{2}}{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {ke^{2}}{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {m(ke^{2})^{2}}{n^{2}\hbar ^{2}}}$.

玻尔模型出人意料地对从电子跃迁能级发出的光子的能量做出了很好的预测。我们可以继续我们的模型，并计算诸如氢的磁矩之类的东西，并找出我们期望的磁性质。

玻尔模型的缺陷

仅适用于氢原子（单电子）原子。

离散角动量值的假设是无法解释的。