带有微积分/热力学/熵的物理学

定义

熵是衡量系统有序程度的指标。熵低的系统是指具有有序或不太可能的构型的系统。例如：如果你有一杯平均温度为 20 度的水，低熵状态可能是上半部分 30 度，下半部分 10 度，而最高熵状态是整杯水都是 20 度。

数学表达

为了量化这一点，我们找到微观状态的总数 (Ω)；系统可能处于的所有可能状态。对于一枚硬币：Ω = 2（正面/反面），两枚硬币：Ω = 4（正正/正反/反正/反反），N 枚硬币：Ω = 2^N。如果你有两个系统，分别有 Ω₁ 和 Ω₂ 个微观状态，则 Ω_总 = Ω₁Ω₂。

要将此应用于粒子系统，请使用体积为 V，包含 N 个原子的系统。在经典力学中，原子可以具有无限多个状态，使得 Ω 为无限大。但是由于量子物理学的结果，Ω 实际上是有限的。给定总能量 E 和质量为 m 的 N 个原子

$\Omega ={\frac {c}{N!}}\left({\frac {V(2mE)^{3/2}}{h^{3}}}\right)^{N}$

c 是一个取决于几何形状的常数。

h 是普朗克常数。

这里有一些说明

1. 可以通过一个伪量子论证推导出这一点，该论证指出盒子中只有有限个位置等于体积除以 h³，并且可能动量的数量是超球面的表面积。但是由于这些都是非物理的且无关紧要的，我也可以只说明公式（学习量子力学！）。
2. 我在公式中添加了一个常数，因为我们主要对状态数如何增长感兴趣，而不是确切的数量。
3. N！仅适用于不可区分的粒子。这是另一个量子效应，意味着自然界无法区分两种相同类型的原子。
4. 统计力学处理的数字数量级为 N = 10²⁷，因此 Ω 通常非常非常大。

熵定义为 $S=k_{b}\ln(\Omega )$，其中 k_b 是玻尔兹曼常数。所以

$S=k_{b}\ln \left({\frac {c}{N!}}\left({\frac {V(2mE)^{3/2}}{h^{3}}}\right)^{N}\right)=k_{b}(\ln c-\ln N!+N(\ln V+3/2\ln 2mE-3\ln h))$

注意：最后一段中的单位有些混乱，但这并不重要。斯特林近似法指出对于较大的 N：$N!\sim N\ln(N)-N$。所以

$S=Nk_{b}(\ln(V)+{\frac {3}{2}}\ln(E)+D)$

由于重要的是变化，我把常数放进了 D（假设粒子守恒）。此外，$E={\frac {1}{2}}fNk_{b}T$，所以

$\Delta S=Nk_{b}(\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}+3/2\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}})$

$\Delta S=Nk_{b}\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}$ 在恒温下。

$\Delta S=3/2Nk_{b}\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}$ 在恒容下。

用熵来定义温度也很有用

$T={\frac {1}{\partial S \over \partial E}}={\frac {2E}{3Nk_{b}}}$