带微积分的物理/热力学/压强和温度

在最基本和最概念化的形式中，压强是单位面积上的力。当然，我们都对什么是压强有一个基本直觉。然而，严格定义它有点棘手，因为原则上我们可以在每个点都有不同的压强，那么它在宏观尺度上就不是真正的单位面积上的力了。此外，我们到底在谈论什么力以及什么面积呢？

我们的真正意思是，如果我们在流体中某个点周围画一个小封闭曲面（如球体），那么压强就是流体从曲面内部向外的力除以曲面面积。当然，曲面必须是可定向的（你不能在它周围画一个克莱因瓶），但更重要的是，当你画的曲面越来越小（比如你选择一个球体，然后缩小半径），计算出的压强必须越来越接近一个确定的值。当然，这些都是数学上的细微之处，还有很多其他的细微之处，都可以忽略不计。

你应该意识到，对于任何给定的曲面，作用在其上的总力是压强的曲面积分。等价地，对于一个小曲面（无穷小），力只是压强乘以面积。

还要注意，压强不能产生剪切力，只能产生法向力。

现在，想象一个小的长方体流体，尺寸为 dx、dy、dz。让我们看看与 x 轴垂直的两个相对面，我们称它们为 A 和 A'。现在，我们要找出周围流体对这个立方体的总力。x 方向上的总力是作用在 A' 上的力减去作用在 A 上的力。作用在 A 上的力是 A 点的压强乘以表面积，我们称之为 dy dz，所以是 P(x) dy dz。作用在 A' 上的力并不完全相同；如果我们取线性近似，它在 dx、dy 和 dz 变小时会变得精确，那么它就是

$P(x)\,dy\,dz+{\frac {\partial P}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz$ . 由于所有高阶项除以 dx dy dz 后都会变为零，因此可以忽略不计。