带微积分的物理/热力学/理想气体

动理论

理想气体是指分子尺寸可忽略不计，相互作用可忽略不计，除了彼此之间的弹性碰撞和可能与容器壁之间的碰撞。此外，在处理理想气体时，我们假设它们具有均匀的压力、温度，并且它们充满容器（尽管有时我们会放弃这个假设，但我们总是假设对于足够小的体积它是成立的）。我们还将忽略重力势能。虽然看起来我们在对气体施加了太多限制，但当应用于相对高温和相对低压的气体时，它给出了非常精确的结果——也就是说，分子彼此远离并且快速移动。例如，它将是 20 摄氏度大气压下氖气的一个很好的近似值。

从我们的假设出发，我们将推导出一些关于理想气体有用的信息。首先，让我们看一下压力。如果我们有一个活塞，并且分子与它发生碰撞（即对它施加压力），我们需要多少力才能使它保持在原位？如果在每秒钟内，活塞从分子获得一些动量，那么力的作用就是以相同的方式赋予相同动量。换句话说，分子传递的每秒动量是我们需要施加的力。我们知道这等于压力乘以面积（我们假设压力是均匀的）。如果分子进行完全弹性碰撞，那么传递的总动量为 $2mv_{x}$ 。也就是说，没有任何东西升温；当活塞与环境处于热平衡时，那么碰撞本质上是弹性的，因为没有任何东西变得更热。

现在，我们将找到在给定的时间 dt 内有多少个分子撞击活塞。如果分子以速度 $v_{x}$ 在 x 方向上运动，并且每单位体积有 n 个分子，那么有 $1/2nv_{x}Adt$ 个碰撞。你可以很容易地通过想象一个面积为 A，厚度为 v_x dt 的长方体来理解这一点，并且由于这些分子中的一半（因为一半朝另一个方向移动）将撞击墙壁，你将得到所需的结果。因此，每秒的碰撞数为 $1/2nv_{x}A$ 。通过将每次碰撞的动量乘以每秒的碰撞数，我们得到每秒的动量， $nAmv_{x}^{2}$ 。因此，压力为 $nmv_{x}^{2}$ 。但是，这只有在所有分子具有相同的 x 速度分量时才成立。如果我们在所有分子可能具有的不同速度上对力进行平均，我们将得到 $nm<v_{x}^{2}>$ 。这与 $nm<v_{x}>^{2}$ 不同！因为第二个是零！重要的是我们要找到压力，然后进行平均，因为每次碰撞的平均动量乘以每次碰撞的平均次数不等于平均每秒动量。