茱莉亚集和曼德勃罗集的图片/历史

牛顿

早在古代，人们就知道，如果分数 $x_{0}$ 接近 √a，那么分数 $x_{1}=(x_{0}+a/x_{0})/2$ 是对 √a 的更好的近似值。因为如果 $x_{0}$ 是对 √a 的近似值，它小于 √a，那么 $a/x_{0}$ 是对 √a 的近似值，它大于 √a，反之亦然，因此 $x_{1}=(x_{0}+a/x_{0})/2$ 比 $x_{0}$ 和 $a/x_{0}$ 都要接近 √a。当然，我们可以重复这个过程，而且它非常有效：如果你从 $x_{0}$ = 1.5 开始，并应用该过程三次，你将得到一个具有十位正确数字的 √a 的近似值。

要找到 $a$ 的平方根，就是解方程 $x^{2}-a=0$ ，我们通过迭代 $x$ → $(x+a/x)/2$ 解了这个方程。而当我们没有公式，或者当 - 在计算机发明后 - 这种方法看起来过于繁琐时，我们必须应用这种方法来解方程。

是牛顿描述了这个一般性的过程：如果 $f(x)$ 是一个（连续的）可微函数，并且在接近 $x=x_{0}$ 的地方与 x 轴相交，我们从 $x_{0}$ 开始，进行多次迭代 $x$ → $x-f(x)/f'(x)$ ，我们就能得到方程 $f(x)$ = 0 的解 *x* 的一个良好的近似值（因为我们假设 $f(x)$ 与 x 轴相交， $f'(x)$ <> 0，在 *x* 的附近，那里 $f(x*)$ = 0）。

这种方法可以推广，使其适用于 $f'(x*)$ = 0 的情况，但是如果 $f'(x)$ 在 *x* 收敛到 *x* 时收敛到 ∞，就像 $f(x)=x^{1/3}$ 和 *x* = 0 的情况一样，那么这个过程就会导致远离解。

有些情况下，通过这种方法无法找到解，也可能存在一些点，它们的迭代序列要么收敛到一个包含多个点的循环，要么不收敛。英国数学家阿瑟·凯莱在 1879 年发表的一篇只有一页的论文中宣称，这个问题需要更深入的研究。他知道牛顿法也可以用来求解复方程 $f(z)$ = 0，他建议我们“暂时抛开现实”，看看当迭代不收敛到解时会发生什么。但这仅仅是他对这一理论的唯一贡献。

朱利亚和法图

30 年过去了，才有人开始关注这个问题。但是，两位法国数学家加斯顿·朱利亚（1893-1978）和皮埃尔·法图（1878-1929）发表了论文，他们在论文中研究了通用的复有理函数的迭代，并证明了我们在这里用到的关于“朱利亚”集和“法图”域的所有事实。当然，朱利亚和法图无法绘制出详细的图像来显示用于求解方程 $z^{3}$ = 1 的牛顿迭代的朱利亚集，例如，但他们知道这种情况下朱利亚集不是一条曲线。凯莱当然认为平面将被几何曲线分割，如果他真的这样认为，也并非不可原谅，因为对于所谓的弱牛顿法确实如此：它收敛速度较慢，但更安全地收敛到解。

我们已经暗示过，我们关于朱利亚集的主要结果是朱利亚和法图已知的。但这并不完全正确，因为中性情况下迭代序列可以进入环形旋转运动的事实，是德国数学家 C.L. 西格尔在 1942 年首次发现的。我们已经说过，这些旋转运动可以是多边形或环形的，它们是同心排列的，并且存在一个有限循环作为这些运动的中心。读者可能想知道：这个中心循环属于法图域还是朱利亚集？我们现在将回答这个问题。在关于场线的章节中，我们定义了一个复数 $\alpha$ ，在吸引情况下，它的模小于 1，但在中性情况下，它的模等于 1，因此对应于一个角度（它的幅角）。当这个角度是有理数（相对于 $2\pi$ ）时，终端运动是有限的（多边形的，即抛物线情况），并且中心循环属于朱利亚集；当角度是无理数时，终端运动是无限的（环形的，即西格尔圆盘情况），并且中心循环属于法图域。

曼德勃罗

但在 20 世纪 70 年代后期，Benoit B. Mandelbrot（1924-2010）开始使用计算机认真研究 Julia 集之前，这个理论并没有取得太多进展。正是 Mandelbrot 创造了分形几何这个词。他曾师从 Julia（在巴黎综合理工学院），大约在 1964 年，他开始了他的“各种深入未知领域的冒险之旅”。但最初他研究的分形图案在严格意义上是自相似的，即在线性变换下保持不变。直到 1978-79 年，他开始研究有理复函数的 Julia 集。他制作了一些打印输出，并研究了由乘以复参数 $\lambda$ 形成的有理复函数族。他的目的是让计算机绘制一个参数集 M，这些参数 $\lambda$ 的 Julia 集不是（完全）不连通的（“分形尘埃”）。这样的程序可以做得非常简单：他找到了该函数的两个临界点，并绘制了使这两个临界点不会迭代到同一个循环中的点 $\lambda$ 。因为这样至少有两个 Fatou 域，因此 Julia 集就不会是尘埃云。他选择了函数，他知道一个实参数值 $\lambda$ ，使得迭代在某个实数区间上表现出混沌，因为这样这个 $\lambda$ 可能属于他的集合 M。

他（在 1979 年）从族 $\lambda (1+z^{2})^{2}/(z(z^{2}-1))$ （具有四个实数临界点和两个虚数临界点）开始。对于 $\lambda$ = 1/4，它在一个区间上表现出混沌，他“感觉为了得到一个具有丰富结构的集合，最好选择一个复杂的映射（我后来观察到的每个初学者都采用了同样的策略）”。当 $\lambda$ 在复平面上变化时，图像显示了一个高度结构化但非常模糊的集合“阴影”。一个非常斑驳的版本，但“它足以表明这个主题值得研究，但最好在一个更简单的环境中进行”。

然后（在 1980 年）他研究了族 $\lambda z(1-z)$ （具有临界点 1/2 和 ∞），对于 $\lambda$ = -2 和 4，它在区间 [-2, 2] 上表现出混沌。他看到了两个半径为 1 的圆盘，圆心在 0 和 2： “两行代数证实了预期中的这两个圆盘，以及方法的有效性。我们还在上面圆盘的左右两侧的实轴上看到了圆形斑点的粗略轮廓，我今天称之为“原子”。它们似乎被 Myrberg 理论中已知的区间二等分，这鼓励我们继续进行越来越大胆的计算。一段时间内，每一笔计算投资都产生了越来越清晰的图像。在想象力的帮助下，我看到原子形成了一个层次结构，每个原子都带有附着在其上的较小的原子”。

“然而，之后，我们的运气似乎破灭了；我们的图片，并没有变得越来越清晰，反而变得越来越混乱。这是 Textronix [阴极射线管（“磨损且非常微弱”）] 故障吗？”Mandelbrot 在另一台计算机上运行了程序：“混乱并没有消失！事实上，正如你所检查的那样，它表现出系统性。我们立即仔细观察。许多污点在放大后确实消失了。但有些污点没有消失；事实上，它们证明分解成复杂的结构，这些结构具有与整个集合 M 非常相似的“芽”。Peter Moldave 和我抑制不住兴奋。一些原因让我们使用等效映射 z → $z^{2}-c$ 重新执行整个计算，而这里集合 M 的主要大陆被证明形状与每个岛屿相同！接下来，我们关注与不同分叉阶数对应的芽，并将它们与相应的离岸岛屿进行比较。结果证明它们位于对数螺旋的星形图案的交点上！(...) 我们继续以这种方式在集合 M 和选定的 Julia 集 J 之间切换，并取得了一个激动人心的发现。我发现集合 M 不仅仅是一个数值记录，记录了极限循环中的点数。它也具有不可思议的“象形文字”特征：在它本身内部包含了所有 Julia 集的整个变形集合，这些集合的尺寸缩小了”。

参考文献

曼德布罗特，B.B.：分形与迭代理论的复兴。见：佩特根 & 里希特：分形的美丽（1986），第 151-160 页（在这篇文章中，你可以看到曼德布罗特对最后一张图片的前两次打印）。

曼德布罗特，B.B.：z → $\lambda z(1-z)$ 迭代的分形方面。对于复数 $\lambda$ 和 z。见：非线性动力学，纽约科学院年鉴 357（1980），第 249-259 页。