Julia 集和 Mandelbrot 集的图片/术语

所有定义都适用于平面上的点、函数、子集等。我们将平面的点与复数和向量相对应。

聚点（或聚点，或极限点）对于一个集合：一个点z，使得z的每个邻域都包含该集合的点

边界对于一个集合：包含该集合和该集合补集的聚点的点集

Cauchy-Riemann 方程对于一个可微函数 $f(x,y)=f_{x}(x,y)+if_{y}(x,y)$ 将平面映射到自身：两个方程

${\frac {\partial }{\partial {x}}}f_{x}={\frac {\partial }{\partial {y}}}f_{y}$ 和 ${\frac {\partial }{\partial {y}}}f_{x}=-{\frac {\partial }{\partial {x}}}f_{y}$

如果它们满足，该函数将作为复函数可微

心形线：一个心形曲线（由一个圆上的固定点在另一个半径相等的圆上滚动时生成）

闭集：一个集合，其补集为一个开集

复数：一个“二维”数，一个形式为(x, y)的数，其中 x 和 y 是实数，这样的对通常写成x+iy，其中x和y由虚数单位i隔开，满足 $i^{2}=-1$

收敛：一个序列 $z_{i}$（i = 0, 1, 2, ...）收敛到点z*，如果对于z*的每个邻域U，都存在一个数 N，使得 $z_{i}$ 属于U，对于 i > N。该序列收敛到阶数为r的有限循环C，如果对于循环的每个点z*，序列 $z_{n+ir}$（对于某个 n）收敛到z*

可数集：一个可以与自然数建立一一对应的集合，有理数是一个可数集

临界点对于一个复可微函数 f(z)：其导数 f'(z) 的零点

循环：平面上的一组有限点，它可能包含点无穷大，它的元素个数称为它的阶数

导数（或微商）对于点z*上的复函数f(z)：该数

$f'(z*)=(df(z)/dz)_{z=z*}=\lim _{h\to 0}(f(z*+h)-f(z*))/h$

（h 复数）如果它存在

行列式对于 2x2 矩阵 {$a_{ij}$}: 实数 |{$a_{ij}$}| = $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

全纯（或解析）函数：在一个平面的开集上定义的复函数，在该开集的每个点上都可微，这样的函数具有所有阶的导数

内点对于一个集合：一个点z，使得z的某个邻域包含在该集合中

迭代: 对同一个函数 f(z) 进行重复运算：$z_{1}=f(z_{0}),z_{2}=f(z_{1}),z_{3}=f(z_{2}),...$

lim: 如果序列 $a_{n}$ (n = 0, 1, 2, ...) 收敛于数 a，则写作 lim_{n → ∞} a_n = a，如果函数 f(z) 的值在 z 收敛于 z* 时收敛于 a，则写作 lim_{n → ∞} f(z) = a

矩阵: 一个由数字组成的矩形数组 {$a_{ij}$} (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n)

邻域: 点 z 的一个包含以 z 为中心的（小）圆的集合

牛顿迭代法: 用于求解方程 g(z) = 0 的迭代函数为 $f(z)=z-g(z)/g'(z)$，如果由某点生成的迭代序列收敛于不动点，则该不动点为方程 g(z) = 0 的解

模: 复数 z = x+iy 的模是实数 |z| = √(x² + y²) ≥ 0

开集: 一个集合，其所有点都是内点

对 x 的偏导数: 函数 f(z) 在点 z 处的对 x 的偏导数为

$\partial f(z)/\partial {x}=lim_{h\to 0}(f(z+h)-f(z))/h$

其中 h 是实数（如果它存在）

对 y 的偏导数: 函数 f(z) 在点 z 处的对 y 的偏导数为

$\partial f(z)/\partial {y}=lim_{h\to 0}(f(z+ih)-f(z))/h$

其中 h 是实数（如果它存在）

多项式: n 次多项式是指形如 $a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n}$ 的函数

有理函数: 形如 p(z)/q(z) 的函数，其中 p(z) 和 q(z) 是多项式

两个向量的标量积 $v_{1}$ = {$x_{1}$, $y_{1}$} 和 $v_{2}$ = {$x_{2}$, $y_{2}$}： 实数 $v_{1}*v_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=|v_{1}||v_{2}|cos(\theta )$，其中 $\theta$ 是 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 之间的夹角。

超越函数： 一个无法用有限步数从初等函数及其反函数构造出来的函数，例如： $sin(z)=z-z^{3}/3!+z^{5}/5!-z^{7}/7!+...$，其中 n! = 1x2x3x...xn

不可数集： 一个不可数的集合，这样的集合（属于平面）可以与实数建立一一对应。

复数运算规则

i² = -1

(x₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

(x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁)

(x₁ + iy₁)/(x₂ + iy₂) = ((x₁x₂ + y₁y₂) + i(-x₁y₂ + x₂y₁))/ (x₂² + y₂²)

复数 $z=x+iy$ 的共轭数是 $z^{-}=x-iy$，即 z 关于 x 轴的对称点。z 的模是实数 |z| = √(x² + y²)。我们有 $|z|^{2}=zz^{-}$。由此，我们可以推导出除法规则： $z/w=zw^{-}/(ww^{-})=zw^{-}/|w|^{2}$.

复数 z = x + iy 可以写成

$z=r(sin(\theta )+icos(\theta ))$

其中 r 是 z 的模长

r = |z| = √(x² + y²)

以及角度 $\theta$ 是 z 的幅角 arg(z)

$\theta$ = arctan(y/x) 当 x > 0 时

$\theta$ = arctan(y/x) + $\pi$ 当 x < 0 时

arg(z) 是多值的: arg(z) = $\theta +n2\pi i$, 对于所有整数 n。

点 $sin(\theta )+icos(\theta )$ (位于单位圆上) 也记作 $e^{i\theta }$, 我们定义指数函数 $exp(z)$ 为

$exp(z)=e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}$

正弦和余弦关系 可以写成

$cos(\theta _{1}+\theta _{2})+isin(\theta _{1}+\theta _{2})=(cos\theta _{1}+isin\theta _{1})(cos\theta _{2}+isin\theta _{2})$

由此可见，$e^{z}$ 对于虚数 z 具有指数性质

$e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}=e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}$

对数函数 log(z) 定义为 exp(z) 的反函数：log(z) = w 当 exp(w) = z 时。我们有 log(z) = log|z| + i arg(z)。log(z) 是多值的：$log(z)=w+n2\pi i$, 对于所有整数 n。

对于一个正实数 a 和一个复数 z，我们定义 $a^{z}=e^{log(a)z}$. 对于一个复数 z，幂 $z^{n}$ 仅当指数 n 为整数时才定义。

可微复函数

在复平面上的一个开域上定义的复函数，如果它在这个域的每个点处都可微，则称之为全纯（或解析）。如果是这样，导函数 f'(z) 也在每个点处可微（这个定理对实函数不成立）。我们有通常的微分规则

$d(f(z)+g(z))/dz=df(z)/dz+dg(z)/dz$

$d(f(z)g(z))/dz=(df(z)/dz)g(z)+f(z)(dg(z)/dz)$

$(d(f(g(z))/dz)_{z*}=(df(z)/dz)_{g(z*)}(dg(z)/dz)_{z*}$

$dz^{n}/dz=nz^{n-1}$ (n 为整数)

$da^{z}/dz=log(a)a^{z}$ (a 为正实数)

$d(exp(z))/dz=exp(z)$

$d(log(z))/dz=1/z$

根据这些规则，我们可以推导出所需的一切，例如

$d(f(z)^{-1})/dz=-f'(z)/f(z)^{2}$

$d(log(f(z)))/dz=f'(z)/f(z)$

对于计算机来说，找到 f'(z) 很容易：f'(z) = (f(z+h) - f(z))/h，例如，对于 $h=10^{-9}$。

函数对实数的导数

平面域上的实函数 f(z) 在点 z 可微，如果

lim_{t → 0} (f(z + th) - f(z))/t

(t 为实数) 对于任何复数 h 存在，并且如果由此定义的函数 $Df(z)(h)$ 从复数 (h) 到实数满足 $Df(z)(h_{1}+h_{2})=Df(z)(h_{1})+Df(z)(h_{2})$。由于我们也有 $Df(z)(th)=tDf(z)(h)$，其中 t 为实数，这个映射是线性的。它被称为 f(z) 在点 z 处的导数。

线性意味着 $Df(z)$ 由两个实数 $Df(z)(1)$ 和 $Df(z)(i)$ 决定。它们分别用 ∂f(z)/∂x 和 ∂f(z)/∂y 表示，被称为关于 x 和 y 的 *偏导数*。我们有对于 $h=h_{x}+ih_{y}$

Df(z)(h_x + ih_y) = (∂f(z)/∂x)h_x + (∂f(z)/∂y)h_y

这个数字是向量 (∂f(z)/∂x, ∂f(z)/∂y) 和 ($h_{x},h_{y}$) 的点积，所以，如果我们将 Df(z) 和 h 看作向量，我们可以写成

Df(z)(h) = Df(z)*h.

向量 Df(z) 被称为 f(z) 在点 z 处的 **梯度**：Df(z) 的方向是增长最快的方向，Df(z) 的长度是 f(z) 在这个方向上的增长。

如果 ∂f(z)/∂x 和 ∂f(z)/∂y 存在于 z* 的邻域中，并且在 z* 中是连续的，那么 f(z) 在 z* 中是可微的。

平面映射的导数

如果 f(z) 是一个从平面的一个域到平面的映射，我们可以写成 $f(z)=f_{x}(z)+if_{y}(z)$，其中 $f_{x}(z)$ 和 $f_{y}(z)$ 是实函数。f(z) 被称为在点 z 中是可微的（作为实函数），如果 $f_{x}(z)$ 和 $f_{y}(z)$ 都在 z 中是可微的。如果是这样，我们就有一个从复平面到自身的线性映射 Df(z)，由 $Df(z)(h)=Df_{x}(z)(h)+iDf_{y}(z)(h)$ 给出。这个线性映射被称为 f(z) 在点 z 处的导数。

线性意味着 Df(z) 由两个复数 Df(z)(1) (= ∂f_x/∂x + i∂f_y/∂x) 和 Df(z)(i) (= ∂f_x/∂y + i∂f_y/∂y) 决定，我们有

Df(h_x + ih_y) = ((∂f_x/∂x)h_x + (∂f_x/∂y)h_y) + i((∂f_y/∂x)h_x + (∂f_y/∂y)h_y)

用矩阵表示法，这意味着 Df(z) 是从平面到自身的线性映射，由

${\begin{bmatrix}\partial f_{x}/\partial {x}&\partial f_{x}/\partial {y}\\\partial f_{y}/\partial {x}&\partial f_{y}/\partial {y}\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}h_{x}\\h_{y}\\\end{bmatrix}}$

f(z) 作为复函数是可微的，意味着这种乘法对应于与复数 f'(z) 相乘，而这种情况恰好发生在 Cauchy-Riemann 方程成立时

${\frac {\partial }{\partial {x}}}f_{x}={\frac {\partial }{\partial {y}}}f_{y}$ 和 ${\frac {\partial }{\partial {y}}}f_{x}=-{\frac {\partial }{\partial {x}}}f_{y}$

满足 - 这两个数字是 f'(z) 的实部和虚部。

矩阵计算

矩阵 是一个由实数组成的矩形数组。我们只需要 1 或 2 边的矩阵。也就是说，要么是 2x2 矩阵（二次矩阵）

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$

或者 1x2 矩阵（行矩阵）：{a, b}，或者 2x1 矩阵（列矩阵）

${\begin{bmatrix}a\\b\\\end{bmatrix}}$

或 1x1 矩阵：{a}，与数字 a 相同。

矩阵的转置 是通过对角线反射形成的矩阵。该操作用 * 表示，这意味着我们可以用 {a, b}* 表示列矩阵 - 行矩阵 {a, b} 的转置。

两个相同类型的矩阵 A 和 B 可以通过将对应位置的数字相加来相加。我们通过将矩阵的每个元素乘以该数字来将矩阵乘以一个实数。

两个矩阵 A 和 B，其中 A 的宽度等于 B 的高度，可以相乘：结果是一个矩阵 AB，其高度是 A 的高度，其宽度是 B 的宽度。

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\alpha +b\gamma &a\beta +b\delta \\c\alpha +d\gamma &c\beta +d\delta \\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\alpha +b\beta \\c\alpha +d\beta \\\end{bmatrix}}$

乘积 {a, b}{$\alpha ,\beta$}* 是数字 $a\alpha +b\beta$（向量 {a, b} 和 {$\alpha ,\beta$} 的标量积）和乘积 {a, b}*{$\alpha ,\beta$} 是 2x2 矩阵

${\begin{bmatrix}a\alpha &a\beta \\b\alpha &b\beta \\\end{bmatrix}}$

二次矩阵 A 的行列式为：

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$

实数 det(A) = |A| = ad - bc。单位矩阵 I 为：

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

2x2 矩阵 A 的逆矩阵为 2x2 矩阵 $A^{-1}$，满足 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$。它由：

${\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}$

除以 |A| - 因此它仅在 |A| <> 0 时存在。

平面的点可以用列矩阵 {x, y}* 来识别。因此，2x2 矩阵 A 确定了平面到自身的线性映射：{x, y}* → A{x, y}*。如果 |A| <> 0，则它是单射的（进而是双射的）。如果是这样，则数字 |A| 是单位正方形图像的面积（如果 |A| 为负，则映射改变方向）。同样地，平面的向量可以用行矩阵 {a, b} 来识别。行矩阵 {a, b} 确定了平面到实数的线性映射：{x, y}* → {a, b}{x, y}* = ax + by（向量 {a, b} 和 {x, y} 的标量积）。复数 z = x + iy 可以用列矩阵 {x, y}* 和 2x2 矩阵来识别：

${\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\\\end{bmatrix}}$

由该矩阵给出的平面到自身的映射，是乘以复数 z。