Julia 集和 Mandelbrot 集的图片/Julia 集和 Fatou 域

设 $f(z)$ 是从复平面 $\mathbb {C}$ 到自身的可微映射。我们首先假设 $f(z)$ 作为复函数是可微的，也就是说，$f(z)$ 是一个全纯函数，因此可以像我们想的那样多次微分。此外，我们假设 $f(z)$ 是有理的，也就是说，$f(z)=p(z)/q(z)$，其中 $p(z)$ 和 $q(z)$ 都是复多项式。如果 $p(z)$ 和 $q(z)$ 的次数分别为 m 和 n，我们称 *d = m - n* 为 $f(z)$ 的次数。

Julia 集的理论从这个问题开始：当我们迭代一个点 *z* 时会发生什么，也就是说，当我们形成序列 $z_{k}$（*k = 0, 1, 2, ...*）时会发生什么，其中 $z_{k+1}=f(z_{k})$ 且 $z_{0}=z$。

三种可能性

每个迭代序列都属于以下三类之一

1: 该序列 *收敛* 到一个有限的点循环，并且 *z* 附近所有点在足够小的邻域内都收敛到同一个循环。

2: 该序列 *进入* 一个有限的循环（有限的）多边形形状或（无限的）环形形状旋转运动，并且 *z* 附近的所有点在足够小的邻域内都进行类似的但同心运动。

3: 该序列 *进入* 一个有限的循环，但 *z* 具有这种性质是孤立的，*或者*：对于 *z* 附近所有点 *w*，*z* 和 *w* 的迭代之间的距离大于 *z* 和 *w* 之间的距离。

在第一种情况下，循环是 *吸引* 的，在第二种情况下，循环是 *中性* 的（在这种情况下，存在一个 *中心* 的有限循环），在第三种情况下，迭代序列是 *排斥* 的。

五个 Fatou 域

一个 Fatou 域

点 *z* 的集合，其迭代序列收敛到同一个吸引循环或进入同一个中性循环，是一个开集，称为 $f(z)$ 的 *Fatou 域*。这些域的并集的补集（满足条件 3 的点）是一个闭集，称为 $f(z)$ 的 *Julia 集*。

Julia 集总是非空且不可数的，并且它是*无限薄*的（没有内点）。它不受 $f(z)$ 的影响，并且这里的迭代序列表现出混沌现象（除了可数的有限序列点）。Julia 集可以是一条简单的曲线，但通常是一个分形。

关于复有理函数迭代的均值定理如下：

每个 Fatou 域都有相同的边界。

因此，共同边界就是 Julia 集。这意味着 Julia 集的*每个*点都是每个 Fatou 域的*累积点*。

如果存在两个以上的 Fatou 域，我们可以推断 Julia 集一定是一个分形，因为 Julia 集的*每个*点都有来自两个以上不同开集的点无限靠近，但这是“不可能的”，因为平面只有二维。

因此，如果我们以特定方式构建 $f(z)$，我们可以确定 Julia 集是一个分形。这是求解方程 $g(z)=0$ 的牛顿迭代的情况。这里 $f(z)=z-g(z)/g'(z)$，并且可以通过迭代找到的解属于不同的 Fatou 域（由迭代到该解的点组成）。第一张图显示了求解 $g(z)=z^{5}-1$ 的牛顿迭代的 Julia 集。但 Julia 集也可以因其他原因成为分形，下一张图显示了形式为 $1000(1-z)/(8-4z+2z^{2}-z^{3})+c$ 的迭代的 Julia 集，这里只有一个 Fatou 域。

临界点

首先，我们必须找到所有 Fatou 域。由于 Fatou 域可以通过知道其中的一个点来确定，所以我们必须找到一个点集，使得每个 Fatou 域都包含这些点中的至少一个。这很容易做到，因为

每个 Fatou 域都包含 $f(z)$ 的至少一个临界点。

$f(z)$ 的*临界点*是指满足 $f'(z)=0$ 的（有限）点*z*，或者如果 $f(z)$ 的次数*d* 至少为 2，或者如果 $f(z)=1/g(z)+c$ 对于某个*c* 和满足此条件的有理函数 $g(z)$ 则*z* = ∞。

由于我们已经预设 f(z) 是有理函数，这意味着 Fatou 域的数量是有限的。

我们可以通过牛顿迭代找到 $f'(z)=0$ 的解：如果*z*是解，则通过 $z$ → $z-f'(z)/f''(z)$ 对*z*附近的点进行迭代。我们可以对平面中大量规则分布的点应用牛顿迭代，并记录不同的临界点（如果起始点属于迭代的 Julia 集，它不一定导致解，同样，我们也不能完全确定我们会捕获所有临界点，但对于我们的任务，我们应该不在乎这一点）。

这里我们只处理吸引的 Fatou 域：中性域无法以自然的方式着色，除非$f(z)$ 特别选定，在实践中 Fatou 域不可能是中性的。

我们可以用以下方法找到不同的吸引 Fatou 域：我们对每个临界点进行大量迭代（或者如果迭代点在数值上大于给定的大数，则停止迭代），使得迭代点 z* 非常接近其终点，该终点可能是一个包含 ∞ 的循环，并且我们继续迭代直到该点再次非常接近 z*。用于此的迭代次数 r(z*) 是循环的阶数。此后，我们通过删除属于以前注册循环的点 z* 来注册不同的循环。这组点对应于 Fatou 域的集合。

一个 Fatou 域可以包含几个临界点，从 Fatou 域中的临界点数量，我们可以说一些关于 Julia 集的连通性：Fatou 域中的临界点越少，Julia 集就越连通。

循环的吸引力

为了以自然和平滑的方式对 Fatou 域进行着色，除了循环的阶数外，我们还必须知道它的吸引力 $\alpha$ - 一个大于 1 的实数

对于指向阶数为 r 的吸引循环的迭代，我们有，如果 z* 是循环中的一个点，那么$f(f(...f(z*)))=z*$（r 次复合），吸引力是数字 $\alpha =1/|(d(f(f(...f(z))))/dz)_{z=z*}|$。注意 $(d(f(f(...f(z))))/dz)_{z=z*}$ = 循环的 r 个点的 $f'(z_{i})$ 的乘积。如果 w 是一个非常接近 z* 的点，而 $w_{r}$ 是 w 迭代 r 次，我们有 $\alpha =$lim_w→z*$|w-z*|/|w_{r}-z*|$.

然而，这个数字 $\alpha$ 可以是 ∞，即如果循环包含一个临界点（意味着临界点在 *r* 次迭代后迭代到自身），在这种情况下，法图域（和循环）被称为 *超吸引*。我们现在设置 $\alpha =$lim_w→z*$log|w_{r}-z*|/log|w-z*|$ 或者 $\alpha =$lim_w→∞$log|w_{r}|/log|w|$ 如果 *z* = ∞。

在最后一种情况下，即 ∞ 是一个临界点并且 *属于* 循环，我们有 *|d|* > 1 并且 $\alpha =|d|^{r}$。在这种情况下，我们假设 ∞ 是一个不动点 (*r* = 1)，因此 *d* ≥ 2 并且 $\alpha =d$（因此我们忽略了像 $1/(z-c)^{2}+c$ 这样的函数，其中吸引循环是 {*c*, ∞}）。

在使用牛顿迭代法求解方程 $g(z)=0$（因此 $f(z)=z-g(z)/g'(z)$）的情况下，法图域（包含解）是超吸引的，并且 $\alpha =2$（如果解不是重根）。

给法图域着色

我们的着色方法基于 *实际迭代次数*，它与法图域的 *势函数* $\phi (z)$ 相关联。在这三种情况下，势函数由下式给出

$\phi (z)=$lim_k→∞$1/(|z_{kr}-z*|\alpha ^{k})$ (非超吸引)

$\phi (z)=$lim_k→∞$log(1/|z_{kr}-z*|)/\alpha ^{k}$ (超吸引)

$\phi (z)=$lim_k→∞$log|z_{k}|/d^{k}$ (d ≥ 2 且 z* = ∞)

实际迭代次数取决于对一个非常小的数的选择 $\epsilon$（对于趋向有限循环的迭代）和一个非常大的数 N（例如 10¹⁰⁰，对于趋向 ∞ 的迭代），以及由 z 生成的序列，当满足以下条件时停止： $|z_{k}-z*|<\epsilon$ 对于其中一个点 z*（对应于 Fatou 域）或 $|z_{k}|>N$，或者 当达到一个选定的最大迭代次数 M 时（这意味着我们已经命中了 Julia 集，尽管这不太可能）。

如果循环不是不动点，我们必须将迭代次数 k 除以循环的阶数 r，并取该数的整数部分。

颜色搭配的巧妙

如果我们计算 $\phi (z)$ 对于停止迭代的 k，并将 $|z_{k}-z*|$ 或 $|z_{k}|$ 分别用 $\epsilon$ 或 N 替换，我们必须将迭代次数 k 替换为一个实数，这就是实际迭代次数。它可以通过从 k 中减去一个在 [0, 1[ 区间内的数来找到，在三种情况下，它由以下公式给出：

$log(\epsilon /|z_{k}-z*|)/log(\alpha )$ (非超吸引)

$log(log|z_{k}-z*|/log(\epsilon ))/log(\alpha )$ (超吸引)

$log(log|z_{k}|/log(N))/log(d)$ (d ≥ 2 且 z* = ∞)

为了进行着色，我们必须选择循环颜色尺度：无论是图片还是数学或手动构造的尺度，通过选择一些颜色并以连续的方式连接它们。如果尺度包含 H 种颜色（例如 600），我们将颜色从 0 到 H-1 编号。然后，我们将实际迭代次数乘以一个决定图片中颜色密度的数，并取该积对 H 的模的整数部分。密度实际上是着色中最重要的因素，如果它选择得当，我们可以得到很好的颜色搭配。然而，一些分形图案似乎无法令人满意地着色，在这些情况下，我们必须将图片保持为黑白或中等灰色调。

着色 Julia 集

从距离估计绘制的 Julia 集

为了得到一张漂亮的图片，我们还必须着色 Julia 集，否则 Julia 集只能通过着色 Fatou 域来观察，而这种着色在 Julia 集附近变化剧烈，给人一种模糊的感觉（可以通过仔细选择颜色尺度和密度来避免这种情况）。一个点 z 属于 Julia 集，如果迭代不停止，也就是说，如果我们已经达到选定的最大迭代次数 M。但由于 Julia 集是无限薄的，而且我们只对规则排列的点进行计算，因此在实践中我们无法用这种方式着色 Julia 集。但幸运的是，存在一个公式可以（直到一个常数因子）估计 Julia 集外部的点 z 到 Julia 集的距离。这个公式与一个 Fatou 域相关联，并且该公式给出的数字越接近 Julia 集越准确，因此偏差没有意义。

距离函数是指函数 $\delta (z)=\phi (z)/|\phi '(z)|$（参见 *非复数函数的Julia集合和Mandelbrot集合* 部分），其等势线必须大致均匀分布。公式中出现了关于 *z* 的 $z'_{k}$ 的导数 $z_{k}$。但由于 $z_{k}=f(f(...f(z)))$（k 次复合），$z'_{k}$ 是数字 $f'(z_{i})$（*i = 0, 1, ..., k-1*）的乘积，这个序列可以通过 $z'_{k+1}=f'(z_{k})z'_{k}$ 和 $z'_{0}=1$（*在* 计算下一个迭代 $z_{k+1}=f(z_{k})$ *之前*）递归地计算。在三种情况下，我们有

$\delta (z)=$lim_k→∞$|z_{kr}-z*|/|z'_{kr}|$ (非超吸引)

$\delta (z)=$lim_k→∞$log|z_{kr}-z*||z_{kr}-z*|/|z'_{kr}|$ (超吸引)

$\delta (z)=$lim_k→∞$log|z_{k}||z_{k}|/|z'_{k}|$ (d ≥ 2 且 z* = ∞)

如果这个数字（针对最后一次迭代次数 kr 计算得出，需要除以 r）小于给定的小数字，则例如将点 z 着色为深蓝色。

灯光效果

使用势函数的灯光效果

使用距离函数的灯光效果

我们可以通过使用灯光效果，使某些图案的着色更具吸引力。我们假设我们将势函数或距离函数绘制在带有分形的平面上，并且从给定方向（由两个角度确定）照亮生成的丘陵景观，并从正上方观察。对于每个点，我们对另外两个非常接近该点的点进行真实迭代次数的计算，一个在 x 方向，另一个在 y 方向。这三个真实迭代次数的值在空间中形成一个小的三角形，我们用该三角形的法线（单位）向量与光方向的单位向量形成标量积。将标量积乘以一个确定光效果的数字后，我们将该数字添加到真实迭代次数（乘以密度数字）。

除了真实迭代次数，我们还可以使用从距离函数构造的相应实数。真实迭代次数通常给出最佳结果。使用距离函数等同于形成分形景观并从正上方观察它。

当 $f(z)$ 是一个多项式，并且当循环是超吸引时，效果通常最好，因为势函数或距离函数的奇点会产生凸起，这可能会破坏着色。

场线

场线

场线

在一个法图域（不是中性的）中，存在一个与等势线系统正交的线系统，该系统中的线称为场线。如果我们根据迭代次数（不是真实迭代次数）对法图域进行着色，则迭代带将显示等势线的走向，也显示场线的走向。如果迭代走向 ∞，我们可以很容易地显示场线的走向，即通过根据最后序列点位于 x 轴上方还是下方来改变颜色，但在这种情况下（更准确地说：当法图域是超吸引时），我们无法连贯地绘制场线（因为我们使用 $f'(z_{i})$ 循环点的乘积的幅角）。对于一个吸引循环 C，场线从循环点发出，并从迭代进入循环点的（无限多个）点发出。场线在朱利亚集上以非混沌点（即生成有限循环的点）结束。

令 r 为循环 C 的阶数，令 z* 为 C 中的一个点。我们有 $f(f(...f(z*)))=z*$（r 重复合），我们定义复数 $\alpha$ 为

$\alpha =(d(f(f(...f(z))))/dz)_{z=z*}$.

如果C的点为$z_{i}(i=1,2,...,r,z_{1}=z*)$，$\alpha$ 是r个数字$f'(z_{i})$ 的乘积。实数 1/$|\alpha |$ 是循环的吸引力，我们假设循环既不是中性的也不是超吸引的，这意味着 1 < 1/$|\alpha |$ < ∞。点 z* 是$f(f(...f(z)))$ 的不动点，并且在该点附近，映射$f(f(...f(z)))$ 具有（与场线相关）旋转的特征，其幅角为$\beta$ 的$\alpha$（因此$\alpha =|\alpha |e^{\beta i}$）。

为了对法图域进行着色，我们选择了一个小数字$\epsilon$，并将迭代序列$z_{k}(k=0,1,2,...,z_{0}=z)$ 停止于$|z_{k}-z*|<\epsilon$ 时，并根据数字k（或如果我们更喜欢平滑着色，则根据实际迭代次数）对点z 进行着色。如果我们从z* 选择一个由角度$\theta$ 给定的方向，则从该方向发出的z* 的场线由满足以下条件的点z 组成

$\psi -k\beta =\theta (mod2\pi )$.

因为如果我们沿着场线方向（远离循环）通过迭代带，迭代次数k增加 1，数字$\psi$增加$\beta$，因此数字$\psi -k\beta (mod2\pi )$沿着场线是常数。

对法图域场线的着色意味着我们对场线对之间的空间进行着色：我们从z*选择一些规律分布的方向，并在这些方向的每一个方向上选择两个方向。由于可能会发生两个边界场线不以朱利亚集的同一点结束的情况，我们着色的场线在通往朱利亚集的途中可能会（无限地）分叉。我们可以根据到场线中心线的距离进行着色，并且可以将这种着色与通常的着色混合使用。

令n为场线数，t为它们的相对厚度（区间[0, 1]中的一个数）。对于点z，我们已经计算了数字$\psi -k\beta (mod2\pi )$，如果数字$v=(\psi -k\beta (mod2\pi ))/(2\pi )$（在区间[0, 1]中）满足|v - i/n| < t/(2n)，其中i = 0, 1, ..., n，我们可以使用数字|v - i/n|/(t/(2n))（在区间[0, 1]中 - 到场线中心的相对距离）进行着色。

在第一张图片中，函数的形式为$z/2+1/(z-z^{3}/6)+c$，我们只对单个法图域进行了着色。第二张图片显示，场线可以做得非常装饰性（函数的形式为$z/(1+z^{3})+c$）。

嵌入在场线中的图片

（彩色）场线被迭代带分割，这样的部分可以与单位正方形建立一一对应关系：一个坐标是到一个边界场线的相对距离，这个数字是(v - i/n)/(t/(2n)) + 1/2，另一个是到内部迭代带的相对距离，这个数字是实际迭代数的非整数部分。因此，我们可以将图片放入场线中。如果我们根据迭代次数和场线数对它们进行索引，我们可以根据需要放入任意数量的图片。然而，似乎很难找到适合放置图片的分形图案 - 如果目的是具有艺术价值的图片。但我们可以将绘制限制在场线内（并可能在嵌入的图片中引入透明度），并让场线外的域成为另一个分形图案（第三张图片）。

填充的朱利亚集

对于$z^{3}+c$的填充朱利亚集

法图域的补集称为填充朱利亚集。它是朱利亚集和其他法图域的并集。外部法图域通常是包含∞的域，填充的朱利亚集通常用黑色着色，就像曼德尔布罗特集一样。程序更容易编写，但运行速度更慢，因为黑色的点会达到最大迭代次数。由于精细的朱利亚集通常只有一个法图域，因此您也可以制作一个更容易的程序，该程序只对单个法图域进行着色。您在外部法图域中选择一个点，并对该点进行大量迭代，以找到吸引循环，然后填充的朱利亚集包括未向该循环迭代的点。如果有理函数的次数至少为 2，那么包含∞的法图域的填充朱利亚集由其迭代序列保持有界的点组成。