认识论概述/计算机和功耗

认识论概述
计算机和功耗

计算机不能在不消耗能量的情况下运行。我们用热力学原理证明了这一点，即第二类永动机的不可能原理。

第二类永动机

一台机器，它可以在不供应能量的情况下抬起重量或移动汽车，可以制造出第一类永动机。能量守恒定律，即热力学第一定律，禁止这种机器存在。它是物理学中最基本的法则之一。如果我们能发明这种机器，那么所有物理学家都将是错误的，但没有人曾经发明过它。

第二类永动机并不违反能量守恒定律。任何物体在冷却时都能产生能量，除非它处于零温度，即 0 开尔文 = -273.15 摄氏度 = -459.67 华氏度。所以我们可以想象一辆汽车、一艘船或一架飞机，它们可以在不消耗燃料的情况下前进。它只需要吸收室温下的空气或水，然后以更低的温度排放。能量差将用于驱动发动机。

要使这种发动机工作，就必须能够将温度均匀的系统分成两部分，一部分较热，另一部分较冷。但这被热力学第二定律所禁止，因为它会降低总熵。因此，第二类永动机的不可能性源于总熵不减定律，即热力学第二定律。

麦克斯韦妖

麦克斯韦妖表明信息可以转化为功

考虑一个容器中的气体。在中间放置一个隔板。它配备了一个小门，由一个检测入射分子速度的装置控制。只有当从左侧来的分子速度快于平均速度，或者当从右侧来的分子速度慢于平均速度时，它才打开门。这样，右侧隔室就被加热，而左侧隔室就被冷却（麦克斯韦 1871）。这种温差可以用来驱动热机。

开门装置就是一个麦克斯韦妖。它获取可以转化为功的信息。因此，信息是一种燃料。

麦克斯韦发明了他的“妖”是为了表明熵不减定律只是一个统计真理，如果能改变微观成分的统计平衡，它就可以被违反。在那个时代，原子和分子的存在仍然是非常假设的。因此，考虑操纵它们的可能性是不可想象的。但一旦物质的微观成分变得更加为人所知，一个像麦克斯韦妖一样工作的机械装置的可能性就可以被认真对待了。

迄今为止，我们观察和操纵微观成分的能力并不允许麦克斯韦想象的装置实现，但扫描隧道显微镜使我们能够观察和操纵原子。然后，人们可以想象一种设备，它允许在降低观察系统的熵后恢复功，因此，这是一种理论上可行的麦克斯韦妖

考虑一个能够在其表面容纳原子的晶体。假设最初 $N_{A}$ 个原子随机分布在 $N_{S}$ 个位点上，并且温度足够低以至于它们停留在那里。因此，它是一种冷冻的无序。我们首先观察表面原子的精确构型，这可以用扫描隧道显微镜来完成，然后我们移动它们并用相同的显微镜将它们收集到表面的一部分 ${\frac {N_{A}}{N_{S}}}$ 上。显微镜的活动类似于对气体的等温压缩功，只是它不是气体，而是表面上的冷冻无序。

原则上，原子位移不需要任何功，因为撕裂原子的功可以在重新沉积过程中恢复。

为了将扫描隧道显微镜的活动转化为功，我们将晶体的表面与一个体积为 $V$ 的空容器接触，该容器的其他壁不能容纳原子。该容器用一个可移动的壁分成左右两部分，其体积分别为 $V_{G}={\frac {N_{A}}{N_{S}}}V$ 和 $V_{D}={\frac {N_{S}-N_{A}}{N_{S}}}$ 。加热晶体以蒸发体积为 $V_{G}$ 的原子。然后允许所得气体在整个容器中等温弛豫，提供一个功 $W=N_{A}k_{B}T\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}$ ，其中 $k_{B}$ 是玻尔兹曼常数， $T$ 是温度。然后冷却晶体，使原子重新沉积在晶体的表面。如果以一系列热浴可逆地进行，则每个使用的热浴在加热过程中提供的热量恰好等于它在冷却过程中回收的热量，因为气体等容比热不依赖于其体积。晶体和用于加热它的热浴已恢复到初始状态。

用于等温膨胀的热浴放弃了部分热量，这些热量被转化为功。因此，似乎我们已经实现了一种第二类永动机，因为设备的其余部分都已恢复到初始状态。

对表面上的原子进行排序的隧道显微镜必须由一个计算机控制，该计算机被编程为获取原子并将它们沉积在合适的位点。由于热力学第二定律禁止第二类永动机，因此该计算机必须消耗的能量至少等于等温膨胀过程中提供的功 $W$ 。因此，计算机不能在不消耗能量的情况下工作。

人们假设一个吸收壁可以使一个任意大的体积形成完美的真空。这种壁不可能存在，否则就可以制造第二类永动机：装满原子的壁与一个空容器接触，加热到足够高的温度使所有原子都蒸发。然后允许气体等温弛豫以提供功。然后将气体冷却到足够低的温度，使所有原子重新沉积在吸收壁上。如果以可逆的方式进行，则每个热浴在加热过程中提供的热量恰好等于它在冷却过程中回收的热量。因此，我们可以在从单个热浴提取热量后，提供功，并返回到初始状态。

为了进行与热力学定律相符的精确计算，有必要考虑与吸收壁接触的气体的平衡密度。这种密度不能为零，但它可以非常小，从先验来看，如果壁的吸收性足够强，它可以小到任何程度。这足以证明上面的计算，在上面的计算中，这种密度被忽略了。

Szilard 引擎

为了更好地理解信息到功的转化，Szilard (1929) 邀请我们思考一个使用“单分子气体”工作的引擎。

一个分子被封闭在一个容器中，该容器可以用一个可移动的壁隔开。当将壁放置在容器的中央时，可以检测到分子存在于两个隔开的隔室中的哪一个。因此，获得了一位信息。然后将该壁用作一个活塞，分子可以在该活塞上做功。需要知道分子在哪里才能知道活塞向哪个方向移动才能获得功。这样计算得出，在最佳条件下，一位信息被用来获得等于 $k_{B}T\ln 2$ 的功。这是分子在温度为 $T$ 的等温膨胀期间对活塞所做的功，该功使可达到的体积增加了一倍。

Szilard 引擎似乎与热力学相矛盾，因为它表明我们可以制造第二类永动机。如果活塞只能向一个方向移动，则不需要知道分子位置就可以获得功。在两种情况下，活塞保持静止，因为分子位于活塞的错误一侧，我们没有获得任何功，但在两种情况下，它会移动，我们获得了等于 $k_{B}T\ln 2$ 的功。通过多次重复该实验，我们就可以获得任意数量的功，而无需花费任何功来了解分子位置。

但这种过程需要一个设备来移除活塞并将其放回原位。现在，在循环结束时，活塞有两个可能的位置，要么位于中间（如果它没有移动），要么位于一端（如果它移动了）。因此，该设备必须在每个循环结束时获得一位信息。为了恢复到初始状态，它必须擦除该信息。因此，擦除信息的成本也是导致第二类永动机不可能的原因（Leff & Rex 1990）。

Szilard 定理的新证明

在原子沉积的晶体表面上，可能的构型数量等于 $(_{N_{S}}^{N_{A}})$ 种在 $N_{S}$ 个位点上放置 $N_{A}$ 个原子的方法数。因此，知道表面上原子固定无序所需的 $I$ 信息量为

$I=\ln(_{N_{S}}^{N_{A}})=\ln {\frac {N_{S}!}{(N_{S}-N_{A})!N_{A}!}}=N_{S}\ln {\frac {N_{S}}{N_{S}-N_{A}}}+N_{A}\ln {\frac {N_{S}-N_{A}}{N_{A}}}$

我们使用了斯特林公式： $\ln N!\approx N\ln N-N$

假设 ${\frac {N_{S}}{N_{A}}}\gg 1$ 。因此

$I\approx N_{A}(\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}+1)$

此外，如果 $\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}\gg 1$ ，我们得到

$I\approx N_{A}\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}$

现在，这个信息量可以用来提供一个工作 $W=N_{A}k_{B}T\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}$ 。因此我们得到了以下定理的一个例子

当机器在温度 $T$ 下使用时，一定数量 $I$ 的信息可以产生工作 $W=k_{B}TI$ 。

计算机的最小能量消耗

一台获取了 $I$ 信息量的计算机必须擦除这些信息才能恢复到初始状态。现在，这些信息可以用来产生工作 $W=k_{B}TI$ 。由于第二类永动机不可能存在，因此擦除 $I$ 信息量的计算机必须消耗至少等于 $W=k_{B}TI$ 的能量。

参考文献

Bennett, Charles H., The thermodynamics of computation - a review (Int. J. Theor. Phys. 21, 905-40, 1982, reproduced in Leff & Rex 1990)

Diu, Bernard, Guthmann, Claudine, Lederer, Danielle, Roulet, Bernard, Physique statistique (1989)

Feynman, Richard P., Lectures on computation (1996)

Landauer, Rolf W., Irreversibility and heat generation in the computing process (IBM J. Res. Dev. 5, 183-91, 1961, reproduced in Leff & Rex 1990)

Leff, Harvey S., Rex, Andrew F., Maxwell's demon, entropy, information, computing (1990)

Maxwell, James Clerk, Theory of heat (1871)

Sethna, James P., Statistical mechanics : entropy, order parameters and complexity (2018)

Szilard, Leo, On the decrease of entropy in a thermodynamic system by the intervention of intelligent beings (Zeitschrift für Physik, 1929, 53, 840-856, translated in Leff & Rex 1990)