认识论概要/对称性

结构作为性质

当我们谈论两个个体之间的相似性时，我们的意思是，归属于一个个体的一些性质也可以归属于另一个个体。当我们谈论两个系统之间的相似性时，“对一个系统成立的同样也对另一个系统成立”这句话可以得到更微妙的含义。我们的意思是存在一个投影 f，它使得可以用第二个系统中的个体 f(x) 来替换第一个系统中的个体 x，以使关于第一个系统的真陈述被替换为关于第二个系统的真陈述。这样的投影在数学上被称为态射，如果它是双射的，就称为同构，表示这两个系统具有相同的形式或相同的结构。

目前对结构概念的使用存在歧义。结构有时指的是客体，指的是系统，有时指的是它的性质。结构也具有结构。从逻辑的角度来看，作为客体的结构是逻辑上可能的世界或该世界的一部分。结构作为一种性质可以从等价关系 x 与 y 具有相同的结构来定义。这个等价关系可以用同构的概念来定义

两个结构（或两个系统）具有相同的结构，当且仅当它们是同构的。

两个结构 E 和 F 之间的同构是双射函数 f，它用 F 中的个体替换 E 中的个体，以使所有基本性质和关系都被保留。形式上

如果 P 是一个基本性质，对于 E 中的所有 x，x 具有性质 P 当且仅当 f(x) 具有性质 P。

如果 R 是一个基本二元关系，对于 E 中的所有 x 和所有 y，xRy 当且仅当 f(x)Rf(y)

对于更多项之间的基本关系也是如此。

（E 中的元素与 F 中的元素之间的关系定义了一个从 E 到 F 的映射，当 E 中的每个元素都与 F 中的单个元素连接时。从 E 到 F 的映射是双射的，当 F 中的每个元素都与 E 中的单个元素连接时。换句话说，双射函数是其逆也为映射的映射。）

两个结构之间的同构使得可以通过将所有地方的 x 替换为 f(x)，将关于一个结构的所有真陈述转换为关于另一个结构的真陈述。当两个结构同构时，它们是同一理论的模型。任何一个结构的公理系统必然是另一个结构的真命题。

一个复杂的自然存在是自然结构，由自然性质和关系定义。两个同构的复杂自然存在本质上是相似的，自然上是不可分辨的。它们具有相同的自然性质。在一个自然存在中自然可能的一切，在另一个自然存在中也自然可能。一个复杂自然存在的本质是它的结构。两个同构的复杂自然存在具有相同的本质。

同构的概念通常以更一般的形式定义。双射函数 f 被允许替换不仅是单个个体，还包括性质和关系，始终以这样一种方式，即关于一个系统的真陈述被替换为关于另一个系统的真陈述。当系统之间的相似性以这种方式定义时，通常说相似的系统是类似的，而投影 f 是一个类比。同构可以定义为一个双射类比。

我们也可以以更一般的形式定义结构的概念

两个结构具有相同的结构，当且仅当它们是同一理论的模型。

根据这个第二个定义，结构作为一种性质是由一个理论的公理决定的。更准确地说，不同的公理系统定义相同的结构，当它们具有相同的模型时，当一个系统的任何模型都是另一个系统的模型时。

一个理论是范畴的，当它所有的模型都是同构的。数学的基本结构，特别是自然数集和实数集，是由范畴理论决定的。范畴理论禁止任何偶然性。本质上只有一个逻辑上可能的世界服从它的原则。自然规律没有决定自然的范畴理论。它们留下了偶然性的空间。

当一个理论不是范畴的时，不同的、非同构的结构或系统可能具有相同的结构，如该理论所定义的。例如，我们可以说所有向量空间都具有向量空间结构。

对称结构

结构 E 的自同构是内部同构，即从 E 到 E 的同构。

每个结构都具有一个平凡自同构，即由 id(x)=x 定义的恒等函数。

一个结构是对称的，当它至少有一个非平凡自同构时。

非平凡自同构是结构的对称性。

一个结构的自同构形成一个群，在代数意义上，因为自同构的逆是自同构，并且因为两个自同构的复合也是自同构。

一个结构的所有自同构的群也被称为它的对称群。例如，圆形或圆盘的对称群是绕其中心旋转的群以及关于直径反射的群。

当存在一个自同构 g 使得 y=g(x) 时，x 和 y 在结构中本质上是不可分辨的，因为关于一个的任何真命题都可以转换为关于另一个的等价真命题。

一个对称结构中的一个元素 x 的等价类或轨道是所有使得 y=g(x) 的 y 的集合，其中 g 是结构的自同构。

一个等价类是在结构中本质上不可分辨的元素的集合。例如，圆形的所有点都在同一个等价类中，因为圆形上没有任何东西可以区分它们。圆盘中与中心距离相同的点也都在同一个等价类中，但不同的同心圆是不同的等价类，因为这些点通过它们与中心的距离来区分。

一个结构是对称的，当它包含不同的但本质上不可分辨的元素时，因为它们在结构中的性质和关系决定了不同的但等价的位置。

一个自然结构是完全对称的，当它包含自然上不可分辨的元素时，以使它们在结构中的关系赋予它们等价的位置。

一个自然结构是不完全对称的，当它包含自然上非常相似的元素时，以使它们在结构中的关系赋予它们等价或几乎等价的位置。

当一个结构包含许多成分时，它越对称，越容易知道它，因为一旦知道一个对称部分，我们就知道了所有对称部分。

一只蝴蝶的两个翅膀（这里是一只彩蝶，Vanessa cardui）通过反射是对称的：一个就像另一个在镜子中的影像。

这朵花是旋转对称的：如果我们将它旋转五分之一圈，我们会发现原始形状。

土星及其环。行星和恒星对于围绕其轴的所有旋转几乎是对称的。

雪花

苯分子六分之一圈的旋转会置换原子的排列，而不改变它的结构。

硬球堆叠是某些晶体结构的模型。它们是平移对称的。

SrTiO3 表面的显微图像。较亮的原子是 Sr，较暗的原子是 Ti。

衣藻是一种具有球形对称性的微观淡水绿藻。在较大的藻类中可以看到年轻的藻类。

鹦鹉螺壳的矢状切面。对数螺旋是对相似性对称的。

最初非常局部的粒子的波函数。

绕圆柱体的完美流动。除了双边对称之外，还存在着通过反转时间方向来逆转上游和下游的对称性。持久性是时间平移的对称性。

周期性的球面波对于绕其中心的旋转以及时间平移的倍数是周期性的，是周期性的。

不可预测系统（Chua）的路径。混沌和对称性并不排斥。

在干涉实验中对粒子的模拟检测。对称结构可能是随机现象的结果。

分形结构是按比例对称的。

宇宙微波背景辐射。这些是与均匀宇宙相比的微小温度差异。因此，宇宙在早期对于所有平移和旋转几乎是对称的。

所有观察者的等价原理

为了发展实证科学，我们必须假设所有实验者在以下意义上是等效的：任何一个实验者做出的观察都可以被另一个实验者重复。实验必须是可重复的。如果一个实验不可重复，那么它就不是得到良好控制的。为了使实验可重复，尤其需要保证实验结果不依赖于地点或时间。实验条件可以随时随地重复，并且必须始终导致相同的结果。通过假设观察者等效性原理，我们同时假设物理定律在任何时间和任何地方都是真实的。这导致了时空对称群的定义。时空的所有点必然是相似的，它们都属于同一个等价类。当我们知道其中一个时，我们就知道所有。对于空间中的所有方向以及更一般的对于所有参考系来说都是一样的。时空没有中心，空间中没有优先方向（各向同性，没有上下之分）以及没有绝对静止状态（伽利略-爱因斯坦相对性原理）。就像圆桌骑士一样，但在一个更大的空间中，时空观察者永远不会拥有特权地位。时空对称群（庞加莱群）是对所有观察者等效性原理的数学翻译，就像圆桌对称群是对所有骑士等效性原理的数学翻译一样。

所有观察者等效性原理不仅是理论物理学的基础，也是所有科学的基础，因为理性要求知识是普遍的，任何一个人知道的都可以被其他人知道。