认识论概述/相对论原理的真理
物理定律必须与用来表述它们的坐标系无关。（爱因斯坦 1916）
这意味着什么？
坐标系允许我们对物理对象进行命名。例如，一个空间点可以被三个数字命名，即它的三个坐标，只要给定一个识别系统。当我们改变坐标系时，我们改变了物理对象的名称，但我们没有改变对象本身或它们之间的关系。真理不应该取决于对象如何命名。无论我们如何命名对象，都可以说同样的真理，只是表达方式不同。爱因斯坦提出的广义相对论原理是一个主要的理论进步，因为它是他引力理论的基础，因此类似于一个平凡的事实：真理在改变其表述时仍然存在。
广义相对论原理的更现代的表述并没有改变这种表面上的平凡。
每个物理定律必须能够表达为几何、与框架无关的对象之间的几何、与框架无关的关系。（索恩和布兰德福德，现代经典物理学，第 1154 页，以下简称MCP）
更简单地说，物理定律必须说明关于对象之间关系的真理。
但如果广义相对论原理只是一个平凡的事实，为什么它是所有经典物理学中最重要的原理？为什么它允许我们用一种统一的方式理解牛顿物理学、狭义相对论和广义相对论？为什么它引导爱因斯坦发现了引力的基本定律？
我们应用广义相对论原理的方式赋予它物理意义，也就是说，它引导我们制定可以与观测结果进行比较的定律。更准确地说，我们假设所有物理对象都用标量、向量和张量确定，并且物理定律始终是标量之间的等式，或向量之间的等式，或张量之间的等式。在用标量、向量和张量定义物理对象方面，三个时空至关重要：牛顿的经典时空、用于狭义相对论的闵可夫斯基时空以及广义相对论的弯曲时空。时空的几何特性对可以在其中定义的标量、向量和张量以及可以应用于它们的物理定律施加约束。广义相对论原理本身没有物理意义，但一旦与时空几何原理结合，它就获得了物理意义。
在应用广义相对论原理时，通常会遵守局部性原理。
物理定律必须是在时空同一点定义的标量、向量或张量之间的等式。.
牛顿万有引力定律不遵守局部性原理，因为它假设瞬时超距作用，但这只是该理论的弱点，也是牛顿物理学中的一个例外。总的来说，牛顿及其继任者的物理学都遵守局部性原理。固体和不可压缩流体的动力学也是一个例外，但这并不是一个根本性的反对意见，因为固体和不可压缩流体只是对现实的近似模型。所有固体和流体始终都是可压缩的，至少在一定程度上是可压缩的。
广义相对论原理被命名为“广义相对论”，这很有趣，因为它断言物理定律与特定的坐标系或观察者无关。因此，它是一个肯定物理真理绝对性的原理。它允许建立的狭义相对论和广义相对论也是关于绝对真理的理论。因此，相对性原理如果被称为绝对性原理，可能会被更好地命名，但爱因斯坦决定不这样做，他的用法变得很普遍。
根据定义，n 阶张量是n 个向量的实值线性函数（MCP，第 11 页）。它将一个标量，即一个与框架无关的实数，与n 个向量相关联。
在欧几里得向量空间 中，两个向量的标量积是一个至关重要的 2 阶张量。特别是，它允许将一个向量 识别为由 定义的 1 阶张量。类似地，从 到 的线性函数 可以被识别为由 定义的 2 阶张量。
标量和向量是与参考系无关的几何对象。由于张量是将标量分配给向量的函数，因此它们也是与参考系无关的几何对象。
爱因斯坦的相对论与牛顿物理学在一点上有所不同，即同时性的相对性。根据爱因斯坦，对于一个观察者来说是同时发生的两个事件，对于另一个观察者来说却不一定是同时发生的，如果他相对于第一个观察者运动，而牛顿则隐含地假设事件的同時性是绝对的，对于所有观察者都是相同的。
但认为相对论迫使我们放弃绝对真理是错误的。爱因斯坦的理论，像所有科学理论一样，都声称真理是绝对的，对所有人都是一样的。任何可以被理性人识别为科学知识的真理，都可以被所有其他人识别。真理对所有人都是一样的，否则就不是科学。一个只有少数人知道的科学是荒谬的。我们都在科学真理面前平等。
当真理是相对的，对观察者，对观点，对假设或原理来说，它总是绝对地是真实的。如果一个语句 e 从 A 的角度来看是真实的，但从 B 的角度来看不是，那么它从 A 的角度来看是真实的，对 A 和 B 来说都是真实的。e 是一个相对的真理，但 e 从 A 的角度来看是真实的这一说法是一个绝对的真理。
人们经常认为，当人们观察到科学包含许多有时相互矛盾的理论，并且没有一个理论能声称自己是绝对真理时，就否定了科学真理的绝对性。但这是一种错误。当我们成为科学家时，我们每天都知道绝对真理，因为即使我们的真理是相对的，只要断言它们是相对的，就足以说出绝对真理。没有一个科学理论能声称自己是绝对的、完整的、终极的和最终的真理，这并不能证明没有绝对真理，只是证明我们还没有完全了解它。
牛顿教会我们通过研究单个方程的解来进行物理学研究
是作用在粒子上的力， 是它的质量， 是它的加速度。这个方程是牛顿动力学的基本定律。
粒子要么是质点，要么是固体或流体的粒子。质点是经典物理学的基本粒子。固体或流体粒子是固体或流体中一点附近的微小区域。
除了质点、固体和流体之外，经典物理学还包括物质施加和承受的力场。
对于牛顿物理学来说，向量始终是三维欧几里得空间的向量。向量可以被识别为连接空间中两点的箭头。如果两个箭头从不同的点开始，并且平行，长度相同，方向相同，那么它们代表同一个向量。
有了参考系，向量被用来表示粒子的位置、速度和加速度。参考系是一种可以进行几何测量的基准。如果在基准上选择一个点作为原点，则任何其他点的 位置由将它与原点隔开的向量定义。速度向量是位置向量的导数。加速度向量是速度向量的导数。
粒子的位置和速度总是相对于允许测量它们的参考系而言。另一方面，惯性系的 存在赋予加速度绝对的性质。惯性系是一个不受任何力作用且不会自转的基准。地球不是一个完全的惯性系，因为它会自转，因为它受太阳的吸引，但作为第一近似，它通常可以被视为一个惯性系。如果我们处于一个非惯性系，比如旋转木马，或刹车的火车，或加速的火车，或改变方向的火车，我们会感觉到旋转或加速度的影响，而一个惯性系或近似惯性系让我们安静地休息。
伽利略注意到，在平静的海面上的船上，人们可以进行与在港口相同的实验。只要船的运动不剧烈，船上的任何实验都无法判断它是静止的，还是相对于地球运动的。这是通用的。如果一个参考系相对于一个惯性系具有恒定的速度，那么它也是惯性的。所有惯性系相对于彼此具有恒定的速度，并且在物理上是等价的，因为任何在一个参考系中可以进行的实验，都可以 在另一个参考系中复制。这就是伽利略的相对性原理。
实验结果不依赖于进行实验的惯性系。
爱因斯坦称之为相对性原理，因为它表明速度和静止总是相对的，没有绝对空间。由于没有一个惯性系是优选的，因此物理定律禁止识别绝对静止状态。物体的运动和静止总是相对于另一个物体而言的。谈论相对于空的空间的静止或运动没有任何物理意义。但这个相对性原理也可以被视为一个绝对性的原理，因为它断言物理定律对所有观察者都是一样的，无论他们在哪个惯性系中进行测量。
由于所有惯性系相对于彼此具有恒定的速度，因此粒子的加速度不依赖于测量它的惯性系。牛顿动力学的基本定律与伽利略的相对性原理一致，因为它只提到了力，力是一个绝对的，与参考系无关的量，以及加速度，加速度也是一个绝对的量，与参考系无关，前提是参考系是惯性的。
形变也是绝对量，对所有观察者都是一样的。它们由测量形变位置和初始位置之间的差异的向量表示。在材料静止的参考系中测量它们是很自然的，但其他参考系也是合适的。
牛顿物理学一般非常适合研究普通物质、固体和流体的运动。测量一些参数，如密度、弹性、粘度…通常足以计算和预测物质的运动。关于弹性和粘度力的存在的一些简单定律足以应用牛顿的基本定律，。广义相对论原理和局部性原理是寻找运动定律的非常强大的工具，因为用于陈述这些定律的标量、向量和张量很少。事实上，所有牛顿经典物理学都可以被发现是广义相对论原理应用于牛顿时空的结果 (MCP，p.10)。
另一方面，牛顿物理学不适合研究基本相互作用。万有引力定律不遵守局部性原理，而电磁学定律，即麦克斯韦和洛伦兹方程，在牛顿框架中制定，不遵守伽利略的相对性原理。爱因斯坦的狭义相对论解决了第二个问题，而他的广义相对论解决了第一个问题。
麦克斯韦方程组预测光在真空中的速度是常数 ，并且在所有方向上都相同。这个预测似乎与伽利略相对性原理不相容。如果光相对于一个惯性系以速度 前进，那么它应该相对于另一个以相同速度 相对于第一个惯性系前进的惯性系静止。如果我们能够像光一样快，那么光可能相对于我们静止，我们甚至无法在镜子中看到自己。
真空光速不变最初被解释为证明绝对静止的存在。一个惯性系如果总是将光在真空中的速度归于 ，那么它就是绝对静止的。在任何相对于它运动的惯性系中，光的速度都会不同。人们还认为光是一种透明且未知的物质（称为以太）的振动。然后，绝对静止被认为是相对于这种假设的以太的静止。也有必要放弃伽利略相对性原理的普遍性，因为它与麦克斯韦方程组相矛盾。
正是这一点挑战了爱因斯坦，因为电磁学定律往往与伽利略相对性原理非常吻合。这就是爱因斯坦在保留伽利略相对性原理的同时，对麦克斯韦方程组作出了惊人解释的原因。这是一个惊人的选择，因为它导致了以下原理
无论测量光的速度的惯性系如何，光速在所有方向上都是相同的。
特别是，光相对于地球以 300000 千米/秒的速度前进，但如果我以 299000 千米/秒的速度追赶它，那么光仍然以 300000 千米/秒的速度相对于我前进。这乍一看是一个荒谬的结论。爱因斯坦表明，同时性相对于观察者运动的相对性足以消除这种荒谬的表象。
一旦我们指定了如何观察两个事件的同時性，同时性是相对的还是绝对的，就是一个经验问题。为此，只需在一个惯性系上测量距离，并在那里放置一个球面波发射器，例如声波，它在附着在该系的物质介质中传播。根据同时性的定义，位于发射器相同距离上的两个点同时接收到声脉冲。爱因斯坦使用光本身，而不是声波，来定义事件的同時性，但这削弱了他的论证，因为他必须假设光在所有方向上的速度都相同。这个假设对于定义同时性来说是不必要的。
经验结果是明确的。迄今为止的所有实验都证实了爱因斯坦理论的预测。因此，事件的同時性是相对于观察者的运动而言的，光速在所有方向上都是相同的，无论测量光速的惯性系如何。
一把刚性尺或罗盘可以通过将其与其他距离进行比较来测量其两端之间的距离。因此，一把刚性尺是测量长度或空间间隔的装置。重要的是尺是刚性的，这样测量到的距离总是相同的。时空测量装置可以根据相同的模型设计。一个简单的时钟就是这样的装置。它可以指向两个事件，这两个事件总是相隔相同的持续时间。也可以使用固定在同一个刚性支架上的两个时钟，每个时钟用于指向某个事件。如果触发两个时钟的装置是规则的，那么指向的两个事件之间的时空间隔总是可以相同的。这样的装置可以像刚性尺测量空间一样测量时空。
如果间隔位于一个有质量的物质点的路径上，则该间隔是类时的。如果它位于真空中的光线路径上，则它是类光的。所有其他间隔都是类空间的。当间隔是类空间时，总存在一个惯性系，使得它的端点是同时发生的事件。时空测量装置测量三种间隔。一个时钟足以测量类时间隔。固定在刚性尺上并适当同步的两个时钟可以测量类空间或类光间隔。
该理论可以将一个实数分配给所有时空间隔，类时、类光和类空间，或者更准确地说，将一个实数分配给它们的平方。特别是，所有类时间隔都等于零，因此它们彼此相等。这在先验上是令人惊讶的。例如，这意味着光子发射和在三米外接收之间的时空间隔等于光子发射和在三光年外接收之间的间隔，就好像前进的光子从未离开其起始点一样。难道这不是仙境吗？
时空测量装置和同时性的相对性可以帮助我们理解这个反直觉的结果。想象一个火箭向一颗距离地球三光年的恒星发射。从火箭的角度来看，一个光子从火箭的后部发射并在三米外的前部接收，因此在很短的时间内就会接收到。但是，由于同时性的相对性，从火箭的角度来看，很短的时间，从地球的角度来看，可能需要三年时间，只要火箭足够快。同一个时空装置既测量了三光年的类光间隔，也测量了三米的类光间隔。因此，它建立了它们之间的相等性。
在欧几里得空间中，距离可以由标量积定义，因为向量的长度是其标量平方根。
这就是为什么说标量积定义了欧几里得空间的度量。
反过来，标量积可以由距离定义，公式为
当我们引入笛卡尔坐标时，标量平方就是勾股定理的公式
在闵可夫斯基时空，我们也可以从间隔测量中定义一个“标量”积，但有时我们称之为伪标量，因为它不具有通常标量积的所有性质。
与欧几里得空间一样，时空向量可以被识别为间隔，但它们是事件之间的间隔，而不是空间中点之间的间隔。因此，向量有四个分量，一个时间分量和三个空间分量。
类时间隔可以用秒来衡量，类空间隔可以用米来衡量。“标量”积通过将它们分别赋予正标量平方和负标量平方来区分它们。类光间隔的标量平方为零。
如果我们选择类时间隔具有负标量平方，则间隔的标量平方为
如果我们选择光秒作为距离单位，约为300000公里，，标量平方可以更简单地写成
从标量平方，因此从时空间隔的测量中，我们可以像欧几里得空间一样定义时空“标量”积。
张量的定义与欧几里得空间相同，只是基本张量是闵可夫斯基的“标量”积。
为什么牛顿物理学仍然是正确的？
[edit | edit source]牛顿物理学隐含地假设事件的同時性是绝对的，并将广义相对论原理应用于欧几里得空间的三维向量及其张量。现在，相对论表明事件的同時性是相对的，广义相对论原理必须应用于时空的四维向量及其张量。
牛顿物理学是错误的，但只是稍微错误，而且它的错误通常是微不足道的，考虑到测量的不精确性，它是不可检测的。三维向量就像四维向量的影子。只要速度远小于光速，这些影子就会略微变形，如果我们在影子而不是在四维向量上进行推理，就会犯一个小错误。只有当速度接近光速时，牛顿物理学的错误才会变得可检测。
时空曲率和引力
[edit | edit source]自由落体和行星的轨道
[edit | edit source]牛顿理论用相同的万有引力解释了地球表面的自由落体和月球的轨道。
一切似乎都表明，月球并没有停止向地球坠落，而是一直在旁边坠落，最终它只是围绕着它坠落的物体旋转。总的来说，卫星和弹丸都遵循同样的定律。行星的轨道和所有卫星的轨迹可以被认为是自由落体轨迹，只是它是一个永无止境的坠落。
因此，牛顿理论证明了，与亚里士多德相反，相同的定律解释了地球和天体的运动。
爱因斯坦的伟大思想
[edit | edit source]爱因斯坦通过理解自由落体等同于零重力而得出广义相对论。如果我们在自由落体的电梯里，就像在零重力电梯里，直到它撞到地面。这使得在地球表面产生零重力成为可能。只要使用模拟自由落体轨迹的飞机。只要它保持在这样的轨迹上，所有乘客都会体验到失重。
史蒂芬·霍金在一次零重力实验中乘坐波音727飞机
在牛顿物理学中，自由落体是指物体受到重力的作用。在爱因斯坦物理学中，自由落体是指物体不受任何力的作用，因为自由落体的物体表现得就像失重一样。根据爱因斯坦的理论，重力并不存在，引力不是一种力。
在牛顿物理学中，静止在地球表面的物体加速度为零，因此不受任何力的作用，或者更准确地说，它受到两个大小相等方向相反的力的作用，即地球的万有引力与地面的反作用力。在爱因斯坦物理学中，静止在地球表面的物体始终受到地面的反作用力。这种力没有被重力抵消，因为重力并不存在。如果没有力作用在物体上，它将保持在自由落体的路径上，因此不会静止在地球表面。
在牛顿和闵可夫斯基的空间时间中，不受任何力作用的物体始终沿直线以相对于彼此恒定的速度运动。这些直线轨迹是这些时空的测地线，即最短路径的线。在弯曲的时空里，所有自由落体和所有轨道上的卫星都不受任何力的作用，它们的轨迹都是测地线。
在平坦的空间中，比如一张纸，最短路径始终是直线，但弯曲的空间可以容纳其他测地线。例如，在球体上，测地线是大圆。牛顿和闵可夫斯基的时空是平坦的，因为测地线始终是直线，但广义相对论的时空是弯曲的，因为测地线可以采用更多形式。
在牛顿理论中，有质量的物体彼此施加万有引力。在爱因斯坦的理论中，这些力并不存在，而是物体影响了它们所在的时空的曲率。例如，太阳通过它的存在使时空弯曲，从而在其附近出现回到自身的测地线。行星的轨迹正是这样的测地线。
惯性质量和引力质量的等效性
[edit | edit source]惯性质量 是牛顿动力学基本定律中出现的惯性系数的定义
它是一个惯性系数，因为它衡量了物体抵抗力作用的能力。惯性质量越大，力的作用效果 就越小。力的作用效果 就越小。
惯性质量衡量了物体如何体验其他物体施加的力。引力质量 衡量了物体如何作用于其他物体。它是万有引力定律中出现的系数
两个质量分别为 和 的物体，它们之间的距离为 ，它们彼此施加的引力大小等于
是万有引力常数。
观察发现，所有受到引力作用的物体都经历相同的加速度，无论它们的质量和组成材料如何。这种观察可以通过假设惯性质量始终等于引力质量 来解释，因为惯性质量为 ，引力质量为 的物体，在引力质量为 的物体的引力作用下，其加速度等于
如果
牛顿理论并没有规定 。原则上这两个系数可能不同，受重力作用的物体的加速度可能取决于其组成的物质。但更精确的测量从未让我们观察到这种变化。
爱因斯坦的理论要求受重力作用的物体的轨迹不取决于其物质，因为所有物体，无论其物质如何，都必须遵循相同的测地线。因此，它规定惯性质量和引力质量相等，这正是我们观察到的。
欧几里得空间的度量由欧几里得度量张量描述，即标量积，它可以由向量的长度定义，从而由空间中长度的测量定义。
闵可夫斯基时空度量由闵可夫斯基度量张量描述，即闵可夫斯基“标量”积，它可以由时空间隔的测量定义。
弯曲时空的度量由黎曼度量张量描述。这是弯曲时空的闵可夫斯基度量张量在平坦时空中的模拟。
微分几何是定义弯曲时空及其度量张量的数学工具。因此，它使我们能够定义这些时空中可能存在的所有向量和张量。为了允许所有可能的时空形式，它允许所有坐标系。因此，即使在坐标系任意变化后，同一个物体也可以被表示。更准确地说，我们只对尊重时空微分结构的坐标变化感兴趣，也就是微分同胚。
坐标系的任意变化对于完全自由地定义弯曲时空是必要的。对于平坦时空，牛顿或闵可夫斯基，这种坐标变化并不禁止，但它们不是必需的。我们总是可以限制自己使用笛卡尔坐标，用正交参考系定义。这就是为什么闵可夫斯基时空可以用狭义相对论原理来定义。
物理定律不应取决于它们被表述的正交坐标系。
广义相对论的弯曲时空必须用广义相对论原理来定义。
物理定律不应取决于它们被表述的坐标系。
但广义相对论原理也可以应用于闵可夫斯基时空或牛顿时空，我们毫不犹豫地这样做，因为我们并不总是使用笛卡尔坐标系来研究它们。
物理学的成功表明，关于我们定义的对象和关系可以陈述真理。因此，只要物理理论让我们发现真理，广义相对论原理，我们应该称之为绝对性原理，就被证实了。
牛顿物理学将广义相对论原理应用于欧几里得空间。欧几里得空间的向量和张量足以表示所有普通物质的运动，前提是它们的速率与光速相比很小。因此，只要允许它表述的理论与观测结果一致，应用于欧几里得空间的广义相对论原理就被证实了，也就是说，总是，或者几乎总是。
狭义相对论将广义相对论原理应用于闵可夫斯基时空。闵可夫斯基时空的向量和张量足以表示所有物质的运动，只要我们可以忽略重力和量子效应。因此，应用于闵可夫斯基时空的广义相对论原理被所有经典物理实验所证实，除了那些涉及重力的实验。
广义相对论将广义相对论原理应用于弯曲时空。我们可以定义的向量和张量足以表示所有物质的运动，只要我们可以忽略量子效应。应用于弯曲时空的广义相对论原理始终被所有可能反驳它的实验所证实，它也导致了一些非凡的预测：大爆炸、黑洞、引力波……