认识论概要/ZFC 为假

要证明一个理论为假，只需要证明其公理中有一个为假即可。

策梅洛分离公理：任何良定义的公式都决定了集合的一个部分，该部分包含所有对其为真的元素，仅此而已。

该公理根据良定义公式的定义为真：当一个公式在所有应用的情况下都确定了其真或假时，它就是良定义的。

策梅洛在制定他的公理时，谨慎地没有指定哪些公式是良定义的，因为他不知道。为了将策梅洛的理论形式化，弗兰克尔用以下由斯科莱姆提出的原理补充了它：纯集合论中用一阶逻辑陈述的所有公式都是良定义的。但这个原理是错误的，因为这些公式可能包含诸如“对于任何集合”或“存在一个集合”之类的表达式。然而，ZFC 没有精确地确定集合的概念。什么是集合？什么不是集合？所有集合的宇宙可以用多种不同的方式定义。包含“对于任何集合”的公式的真值可能取决于所选的解释。因此，这些公式并不总是良定义的。因此，弗兰克尔对策梅洛分离公理的表述是错误的。因此，ZFC 为假。

例如，如果可构造性公理为真，则 ZFC 可以证明存在等于 {} 的集合，如果它为假，则可以证明存在 {{}} 的集合。由于可构造性公理的真值取决于所有集合的宇宙的定义，因此这个 ZFC 允许证明存在的集合不是良定义的。一个没有良定义的集合根本就不是集合。它不存在。ZFC 允许证明错误的定理，因此它为假。

为了纠正弗兰克尔的错误，只需要在集合的定义中禁止无界量词。对于替换公理，我们需要良定义函数关系的理论。

ZFC 是迄今为止全世界几乎所有数学家在过去 70 多年中采用的标准理论，作为数学知识的基础。