两年制学院代数预备课程/工作簿 AIE/比例推理
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比例推理
比例是两个量之间的数学关系。根据皮亚杰的智力发展理论，比例推理是儿童从具体运算阶段发展到形式运算阶段所获得的技能之一。
“在数学和物理学中，比例是两个量之间的数学关系。”这种“数学关系”有两种不同的观点；一种基于比率，另一种基于函数。
在许多教科书中，比例表示为两个比率的等式
给出任何三个项的值，就可以解出第四个项。一旦学生掌握了这种算术技巧，人们就会认为学生理解了比例推理。然而，实验数据表明情况可能并非如此。[需要引用]
科学家对比例有截然不同的看法。给定以下关于万有引力定律的方程式（根据牛顿）：
科学家会说，两个物体之间的万有引力与两个物体的质量乘积成正比，与两个物体之间距离的平方成反比。从这种角度来看，比例是数学方程式中变量之间的函数关系。
在皮亚杰的智力发展模型中，第四阶段也是最后阶段是形式运算阶段。在让·皮亚杰和巴贝尔·因海尔德合著的经典著作《从童年到青春期的逻辑思维的发展》中，形式运算推理采取了许多形式，包括命题推理、演绎逻辑、变量分离与控制、组合推理以及命题推理。罗伯特·卡普勒斯是 1960 年代和 1970 年代世界著名的科学教育家，他研究了青少年和成年人的所有这些推理形式，但他最出名的是他对比例推理的研究。
这是一张高先生和短先生的照片。
短先生身高六个回形针。如果用大纽扣测量，他身高四个大纽扣。
高先生与短先生相似，但身高六个大纽扣。
如果你可以用回形针测量高先生的高度，预测一下他的身高。解释你的答案。
乘法推理 1：“他身高九个回形针。每个纽扣相当于一个半回形针。如果他身高六个纽扣，你乘以六乘以一个半得到九个回形针。”
乘法推理 2：“高先生比短先生高 1.5 倍。由于短先生身高 6 个回形针，高先生必须高 6 * 1.5 = 9 个回形针。”
使用加法的乘法推理：“每两个纽扣有三个回形针。高先生比短先生高两个纽扣，所以他必须高三个回形针。6 + 3 = 9 个回形针。”
加法推理 1：“高先生身高八个回形针。短先生身高四个大纽扣，六个回形针。所以纽扣比回形针少两个。由于高先生和短先生相似，而且高先生身高六个纽扣，所以他身高必须是八个回形针。”
加法推理 2：“高先生比短先生高两个纽扣，所以他也比短先生高两个回形针，结果是八个回形针。”
估计：“九，我想他会高一点。”
杂乱无章：“由于高先生比短先生高两个纽扣，我用六个回形针乘以二得到 12 个回形针。”
对于尚未达到形式运算推理阶段的青少年或成年人来说，加法解法是最常见的。它是一种一致的、逻辑的策略，尽管不正确，而且对于问题中涉及的值来说，它会产生一个可信的答案。这似乎不是算术技能的问题，而是错误策略的应用。
反比例存在类似的推理模式。考虑一个装有彩色液体的容器，它位于一个直角三角形中，三角形可以倾斜，并且可以内置刻度测量左右两侧的水位。我们称之为“水三角形”。
问题陈述和典型解决方案
[edit | edit source]旋转你的水三角形，直到左侧测量值为 4 个单位，右侧测量值为 6 个单位。
假设三角形倾斜得更厉害，直到右侧的水位达到 8 个单位。预测左侧的水位将是多少个单位。
一个了解三角形面积的人可能会这样推理：“最初，形成三角形的水的面积为 12，因为 ½ * 4 * 6 = 12。水的量不变，所以面积也不会变。所以答案是 3，因为 ½ * 3 * 8 = 12。”
正确的乘法答案相对较少。最常见的答案是：“2 个单位，因为右侧的水位增加了 2 个单位，所以左侧的水位必须减少 2 个单位，而 4 – 2 = 2。” 较少见的是，对 2 个单位的解释是：“之前总共有 10 个单位，因为 4 + 6 = 10。单位总数必须保持不变，所以答案是 2，因为 2 + 8 = 10。”
因此，我们再次看到，处于非形式运算阶段的人，在解决反比例问题时，采用的是加法策略，而不是乘法策略。而且，就像正比例一样，这种错误的策略在个人看来似乎是合乎逻辑的，并且似乎给出了合理的答案。当学生实际进行实验并倾斜三角形时，他们会发现答案是 3 而不是 2，他们会非常惊讶，因为他们之前非常自信地预测了答案。
将这些策略视为函数关系
[edit | edit source]令 T 为高个子先生的身高，S 为矮个子先生的身高，则正确的乘法策略可以表示为 T/S = 3/2；这是一个恒定比例关系。错误的加法策略可以表示为 T – S = 2；这是一个恒定差关系。以下是这两个方程的图像。对于问题陈述中涉及的数值，这些图像“相似”，因此很容易理解为什么人们认为他们的错误答案是完全合理的。
现在考虑我们使用“水三角形”的反比例。令 L 为左侧的水位，R 为右侧的水位，则正确的乘法策略可以表示为 L * R = 24；这是一个恒定积关系。错误的加法策略可以表示为 L + R = 10；这是一个恒定和关系。以下是这两个方程的图像。对于问题陈述中涉及的数值，这些图像“相似”，因此很容易理解为什么人们认为他们的错误答案是完全合理的。
比例推理的教学
[edit | edit source]正如任何经验丰富的教师都能证明的那样，仅仅告诉学生他的答案是错误的，然后指示学生使用正确的解决方案是不够的。错误的策略并没有“从大脑中去除”，并在完成当前课程后会再次出现。
此外，上面提到的加法策略不能简单地标记为“错误”，因为它们确实与其他现实世界的情况相匹配。例如，考虑以下问题
今年的独立日，高个子先生 6 岁，矮个子先生 4 岁。在未来的独立日，矮个子先生 6 岁。在那个独立日，高个子先生会几岁？
类似地，恒定和关系在某些情况下可能是正确的。考虑以下问题。
河的左侧有 4 只海狸，右侧有 6 只海狸。在同一组海狸的后期，右侧有 8 只海狸。左侧将有几只海狸？
因此，在某些情况下，加法关系（恒定差和恒定和）是正确的，而在其他情况下，乘法关系（恒定比例和恒定积）是正确的。
动手活动和卡普拉斯学习循环的使用
[edit | edit source]至关重要的是，学生要自己认识到，他们目前的推理方式，例如加法，不适合他们试图解决的乘法问题。罗伯特·卡普拉斯 开发了一个名为学习循环的学习模型，它促进了新的推理技能的习得。
1) 探索阶段是第一个阶段，在这个阶段，学生通过他们自己的行动和反应来学习，几乎没有指导。学习环境必须经过精心设计，以将学生的注意力集中在相关问题上。如果学习者发现他们现有的策略与观察到的结果不符，他们可能会经历一些认知失调。这可能会导致他们无法用目前的思想或推理模式回答的问题。
2) 在第二个阶段，介绍和解释概念。在这里，教师更积极，学习是通过解释来完成的。
3) 最后，在第三阶段，将概念应用于新情况，并扩展其适用范围。学习是通过重复和练习来实现的，以便新的想法和思维方式有时间稳定下来。
动手活动在学习循环中非常有用。在预测高个子先生用回形针的身高后，可以引入测量工具，学生可以测试他们的策略。对于使用恒定差关系的学生来说，实际测量将表明高个子先生实际上有 9 个回形针高，这将产生一些认知失调。
反比例也是如此。这是一张两位学生使用“水三角形”的照片。鉴于上述问题，大多数学生预测当水三角形倾斜时，左侧的水位将下降到 2 个单位。当他们进行实验并看到答案是 3 个单位时，就会产生一些认知失调。这是教师将课程转移到学习循环第二阶段的最佳时机。
重要的是，学生不要过度应用他们学到的乘法策略。因此，一些动手活动可能不是基于乘法关系。这是一张两位学生使用恒定和关系正确的装置的照片。
并非总是有可能或可行地将精心设计的动手活动交到学生手中。此外，年长的受众并不总是对使用动手实验做出积极的反应。但是，通常可以通过思维实验来引入认知失调。
通过思维实验确定正确的关系
[edit | edit source]在上面提到的所有实验中，有两个变量的值根据固定的关系而变化。考虑以下类似于高个子先生和矮个子先生问题的题目。
这是一张父亲和女儿的照片。在这张照片中，女儿高 4 厘米，父亲高 6 厘米。他们决定放大照片，在更大的照片中，女儿高 6 厘米。父亲在较大的照片中有多高？
对于使用加法关系的个人来说，一个非常常见的答案是 8 厘米，因为父亲总是比女儿高 2 厘米。所以现在问问这位学生以下问题
假设他们制作了原始照片的一个非常小的版本，在这个小版本中，父亲高 2 厘米。女儿在这个小版本中有多高？
学生很快意识到“父亲总是比女儿高 2 厘米”的策略是不正确的。这也可以通过探索另一个极端来实现，其中将原始照片放大到海报大小，女儿高 100 厘米。父亲在这个海报中有多高？一个回答 102 厘米的学生意识到父亲和女儿几乎一样高，这是不可能的。一旦认知失调出现，教师就可以引入正确的关系，即恒定比例。
也可以鼓励学生进行自己的思维实验，例如“如果女儿的身高在放大时翻倍，父亲的身高会发生什么？”大多数学生，包括那些仍然处于具体运算阶段的学生，会很快回答说父亲的身高也必须翻倍。抽象的思维实验是：“假设其中一个变量的值翻倍，另一个变量会如何变化？”如果答案是“翻倍”，那么这可能是一个恒定比例问题。但是，如果答案不是翻倍，例如上面给出的高个子先生和矮个子先生的年龄问题，那么它就不是一个恒定比例问题。
对于反向关系，例如“水三角形”，极限情况也会造成认知失调。例如，给定初始条件，左侧水位为 4 个单位，右侧水位为 6 个单位，问如果将三角形倾斜到右侧水位为 10 个单位，左侧水位会是多少？学生此时会放弃加法策略，意识到 0 不可能是正确答案。对于反向关系，可以进行一个思维实验。如果一个变量的值加倍，另一个变量会发生什么变化？如果答案是 1/2，那么这可能是一个恒定乘积关系（即反比例）。
绘制变量的值也可以是一个有价值的工具，用于识别两个变量是否成正比。如果它们成正比，那么这些值应该在一条直线上，并且这条直线应该与原点相交。
上面提到的四种函数关系，恒定和、恒定差、恒定积和恒定比，是基于学生最熟悉的四种算术运算，即加、减、乘、除。现实世界中的大多数关系并不属于这些类别之一。但是，如果学生学习简单的技术，例如思维实验和绘制图表，他们将能够将这些技术应用于更复杂的情况。
再次考虑牛顿万有引力定律
如果学生理解变量之间的函数关系，那么他/她应该能够回答以下思维实验。
如果发生以下情况，万有引力会发生什么变化？
- 其中一个质量加倍？
- 一个质量加倍，另一个质量减半？
- 两个质量都加倍？
- 两个质量都减半？
- 两个质量之间的距离加倍？
- 两个质量之间的距离减半？
最后要提醒的是：思维实验必须通过实验结果来验证。考虑以下变量：物体的质量和它落向地球的速度。当被要求进行思维实验时，许多儿童和成人可能会说，当质量加倍时，物体将以两倍的速度下落。然而，实验结果并不支持这种“逻辑”思维实验。因此，理论结果与实验数据一致始终是必不可少的。