(本附录应在首次阅读 [/contents/2600d768-e2cf-4eb7-a936-db24ea0a10a8 欢迎来到经济学！]后参考) 经济学不是数学。本课程中没有一个重要的概念不能用数学来解释。也就是说，数学是一种可以用来阐释经济概念的工具。还记得“一张图片胜过千言万语”这句谚语吗？不要想图片，想想图表。它们是一样的。经济学家使用模型作为主要的工具来推导出关于经济问题和挑战的见解。数学是处理（或操纵）经济模型的一种方式。

还有其他表示模型的方法，例如文本或叙述。但是，如果你有锤子，为什么要用拳头敲钉子呢？数学比文本具有一定的优势。它通过让你精确地说明你的意思来规范你的思维。在脑海中你可以逃避模糊的思维，但在将模型简化为代数方程时，你却不能。同时，数学也存在缺点。数学模型必然基于简化的假设，因此它们不可能完全现实。数学模型也缺乏在叙述模型中可以找到的细微差别。关键是数学是一种工具，但它不是唯一的工具，甚至也不是经济学家可以使用的最佳工具。那么，这本书你需要哪些数学知识呢？答案是：比高中代数和图形多一点点。你需要知道

什么是函数
如何解释一条线的方程（即斜率和截距）
如何操纵一条线（即改变斜率或截距）
如何计算和解释增长率（即百分比变化）
如何阅读和操纵图表

在这本书中，我们将使用尽可能简单的数学，并且将在本附录中介绍它。因此，如果你在书中发现了一些你无法理解的数学，请返回本附录复习。就像大多数事物一样，数学也有边际收益递减。一点点数学能力可以走很远；你带来的数学知识越高级，它为你带来的额外知识就越少。也就是说，如果你要主修经济学，你应该考虑学习一些微积分。从帮助你更快地学习高级经济学方面来说，这将是值得的。

代数模型

经济模型（或模型的一部分）通常用数学函数来表达。什么是函数？函数描述了一种关系。有时这种关系是一个定义。例如（用文字），你的教授是亚当·斯密。这可以表示为教授 = 亚当·斯密。或朋友 = 鲍勃 + 肖恩 + 玛格丽特。

在经济学中，函数通常描述因果关系。左侧的变量是被解释的变量（“影响”）。右侧是解释变量（“原因”）。例如，假设你的 GPA 如下确定

这个方程式表明你的 GPA 取决于三件事：你的 SAT 总分、你的课堂出勤率以及你花费在学习上的时间。它还表明学习时间是 SAT 总分 (0.25) 或课堂出勤率 (0.25) 两倍的重要性 (0.50)。如果这种关系成立，你如何提高 GPA？不要逃课，多学习。请注意，你无法改变你的 SAT 分数，因为如果你在大学，你（可能）已经参加过 SAT 考试了。

当然，经济模型使用经济变量来表达关系，比如预算 = 花在经济学书籍上的钱 + 花在音乐上的钱，假设你唯一购买的东西是经济学书籍和音乐。

在本课程中，我们使用的大多数关系都表示为以下形式的线性方程

图形化表达方程

图形用于两个目的。第一个是直观地表达方程，第二个是显示统计数据或数据。本节将讨论直观地表达方程。

对数学家或经济学家来说，变量是指可以取一系列值的量的名称。在上述直线方程中，x 和 y 是变量，x 在水平轴上，y 在垂直轴上，b 和 m 代表决定直线形状的因素。为了了解这个方程是如何工作的，考虑一个数值示例

在这个特定直线的方程中，b 项等于 9，m 项等于 3。 [链接] 显示了给定方程的 x 和 y 的值。 [链接] 显示了图表中的这个方程以及这些值。要构建表格，只需输入一系列不同的 x 值，然后计算 y 的值。在图中，这些点被绘制出来，并且一条直线穿过它们。

斜率截距方程的值
x	y
0	9
1	12
2	15
3	18
4	21
5	24
6	27

这个例子说明了直线方程中的 b 和 m 项如何确定直线的形状。b 项称为 y 截距。这个名称的原因是，如果 x = 0，那么 b 项将揭示直线与 y 轴的交点或交叉点。在这个例子中，直线在 9 处与垂直轴相交。直线方程中的 m 项是斜率。记住，斜率定义为上升量除以运行量；更准确地说，从一点到另一点的直线的斜率是垂直轴的变化量除以水平轴的变化量。在这个例子中，每当 x 项增加 1（运行量）时，y 项就会增加 3。因此，这条直线的斜率是 3。指定一个 y 截距和一个斜率——也就是说，在直线方程中指定 b 和 m——将识别一条特定的直线。虽然现实世界中的数据点很少像一条精确的直线那样排列，但事实证明，一条直线可以很好地近似实际数据。

解释斜率

斜率的概念在经济学中非常有用，因为它衡量了两个变量之间的关系。正斜率意味着两个变量呈正相关；也就是说，当 x 增加时，y 也增加，或者当 x 减少时，y 也减少。图形上，正斜率意味着当直线图上的直线从左向右移动时，直线上升。本附录后面显示的长度-重量关系 [链接] 具有正斜率。我们将在其他章节中了解到，价格和供给量呈正相关；也就是说，当价格较高时，企业会提供更多商品。

负斜率意味着两个变量呈负相关；也就是说，当 x 增加时，y 减少，或者当 x 减少时，y 增加。图形上，负斜率意味着当直线图上的直线从左向右移动时，直线下降。本附录后面显示的海拔-空气密度关系 [链接] 具有负斜率。我们将了解到，价格和需求量呈负相关；也就是说，当价格较高时，消费者购买的商品会减少。

斜率为零意味着 x 和 y 之间没有关系。图形上，这条直线是平坦的；也就是说，上升量除以运行量为零。 [链接] 的失业率，在本附录后面显示，说明了许多直线图的常见模式：一些斜率为正的段，另一些斜率为负的段，还有一些斜率接近于零的段。

可以通过数值计算出两点之间直线的斜率。要计算斜率，首先将一个点指定为“起点”，另一个点指定为“终点”，然后计算这两个点之间的上升量除以运行量。例如，考虑空气密度图中表示海拔 4,000 米和 6,000 米的点之间的斜率

上升量：垂直轴上变量的变化量（终点减去起点）

运行量：水平轴上变量的变化量（终点减去起点）

因此，这条直线在这两点之间的斜率将是，从海拔 4,000 米到 6,000 米，空气的密度每增加 1,000 米，就会减少大约 0.1 公斤/立方米。

假设一条直线的斜率增加。图形上，这意味着它会变得更陡峭。假设一条直线的斜率减小。然后它会变得更平坦。无论斜率最初是正的还是负的，这些条件都是成立的。较大的正斜率意味着直线向上倾斜更陡峭，而较小的正斜率意味着直线向上倾斜更平坦。绝对值更大（即更负）的负斜率意味着直线向下倾斜更陡峭。斜率为零是水平平坦的直线。垂直直线的斜率是无限的。

假设一条直线的截距更大。图形上，这意味着它会从旧的原点向外（或向上）移动，平行于旧的直线。如果一条直线的截距更小，它会向内（或向下）移动，平行于旧的直线。

用代数求解模型

经济学家经常使用模型来回答一个具体问题，例如：如果经济以每年 3% 的速度增长，失业率会是多少？回答具体问题需要求解代表模型的方程“系统”。

假设个人披萨的需求由以下方程给出

其中 Qd 是消费者想要购买的个人披萨数量（即需求量），P 是披萨的价格。假设个人披萨的供给为

其中 Qs 是生产商将供应的披萨数量（即供给量）。

最后，假设个人披萨市场在供给等于需求的情况下运行，或者

现在我们有一个由三个方程和三个未知数 (Qd、Qs 和 P) 组成的系统，我们可以用代数求解

由于 Qd = Qs，我们可以将需求方程和供给方程设为相等

从两边减去 2 并加上 2P，得到

换句话说，每个个人披萨的价格将是 2 美元。消费者会买多少？

将 2 美元的价格代入需求方程，得到

因此，如果价格为每份 2 美元，消费者将购买 12 份。生产商会供应多少？将 2 美元的价格代入供给方程，得到

因此，如果价格为每份 2 美元，生产商将供应 12 份个人披萨。这意味着我们计算正确，因为 Qd = Qs。

用图形求解模型

如果您不擅长代数，您可以通过使用图形得到相同的答案。将 Qd 和 Qs 的方程取出来，并在同一个坐标轴上作图，如 [链接] 所示。由于 P 在纵轴上，所以最简单的方法是将每个方程都解出 P。然后，需求曲线为 P = 8 – 0.5Qd，供给曲线为 P = –0.4 + 0.2Qs。请注意，纵轴截距分别为 8 和 –0.4，需求的斜率为 –0.5，供给的斜率为 0.2。如果您仔细绘制图形，您会发现它们交汇的地方（Qs = Qd），价格为 2 美元，数量为 12，这与代数预测的结果一致。

我们将在本书中比代数更频繁地使用图形，但现在您已经了解了图形背后的数学原理。

增长率

增长率在现实经济学中经常遇到。增长率只是某个数量的百分比变化。它可能是您的收入。它可能是企业的销售额。它可能是国家的 GDP。计算增长率的公式很简单

假设您的工作每小时支付 10 美元。但是，您的老板对您的工作印象深刻，他给您加薪 2 美元。您的工资的百分比变化（或增长率）为 2 美元/10 美元 = 0.20 或 20%。

要计算扩展时间段内数据的增长率，例如十年或更长时间内的 GDP 平均年增长率，分母通常定义略有不同。在前面的示例中，我们将数量定义为初始数量，即我们开始时的数量。对于一次性计算，这很好，但是当我们反复计算增长率时，将数量定义为所讨论期间的平均数量更有意义，它被定义为初始数量与下一个数量之间的一半。这用文字解释起来比用例子展示更难。假设某个国家的 GDP 在 2005 年为 1 万亿美元，在 2006 年为 1.03 万亿美元。2005 年至 2006 年的增长率将是 GDP 变化（1.03 万亿美元 - 1.00 万亿美元）除以 2005 年至 2006 年的平均 GDP （1.03 万亿美元 + 1.00 万亿美元）/2。换句话说

请注意，如果我们使用第一种方法，计算结果将是（1.03 万亿美元 - 1.00 万亿美元）/ 1.00 万亿美元 = 3% 的增长，这与第二种更复杂的方法基本相同。如果您需要粗略估计，请使用第一种方法。如果您需要准确性，请使用第二种方法。

要记住的几点：正增长率表示数量正在增长。较小的增长率表示数量增长较慢。较大的增长率表示数量增长较快。负增长率表示数量正在下降。

相同变化随时间推移会产生较小的增长率。如果您每年加薪 2 美元，在第一年，增长率将是 2 美元/10 美元 = 20%，如上所示。但在第二年，增长率将是 2 美元/12 美元 = 0.167 或 16.7% 的增长。在第三年，相同的 2 美元加薪将对应于 2 美元/14 美元 = 14.2%。这个故事的寓意是：要保持相同的增长率，每期的变化必须增加。

以图形方式显示数据并解释图形

图形还用于显示数据或证据。图形是呈现数字模式的一种方法。它们将详细的数字信息压缩成一种视觉形式，在这种形式中，可以更容易地看到关系和数字模式。例如，哪些国家的人口更多或更少？一位仔细的读者可以检查代表许多国家人口的数字列表，但世界上有 200 多个国家，浏览这样一个列表需要集中精力和时间。将这些相同的数字放在图表上可以快速揭示人口模式。经济学家使用图表来简洁清晰地呈现数字组，并帮助直观地理解关系和联系。

本书中使用了三种类型的图表：折线图、饼图和条形图。下面将对每种类型进行讨论。我们还提供了一些警告，说明如何操纵图表来改变查看者对数据中关系的看法。

折线图

我们之前讨论过的图形被称为折线图，因为它们显示了两个变量之间的关系：一个在横轴上测量，另一个在纵轴上测量。

有时将多个数据集显示在同一个坐标轴上会很有用。 [链接] 中的数据在 [链接] 中显示，该图显示了两个变量之间的关系：美国男婴和女婴在头三年内的身长和中位数体重。（中位数是指一半婴儿的体重高于此，一半婴儿的体重低于此。）折线图在横轴上测量身长（英寸），在纵轴上测量体重（磅）。例如，图上的 A 点显示，一个身长 28 英寸的男孩的中位数体重约为 19 磅。图上的一条线显示了男孩的身长-体重关系，另一条线显示了女孩的身长-体重关系。这种图表被医疗保健提供者广泛用于检查孩子的身体发育是否大致正常。

美国男孩和女孩的身长-体重关系
出生至 36 个月的男孩		出生至 36 个月的女孩
身长（英寸）	体重（磅）	身长（英寸）	体重（磅）
20.0	8.0	20.0	7.9
22.0	10.5	22.0	10.5
24.0	13.5	24.0	13.2
26.0	16.4	26.0	16.0
28.0	19.0	28.0	18.8
30.0	21.8	30.0	21.2
32.0	24.3	32.0	24.0
34.0	27.0	34.0	26.2
36.0	29.3	36.0	28.9
38.0	32.0	38.0	31.3

经济学中的所有关系都不是线性的。有时它们是曲线。 [链接] 提供了另一个折线图示例，它代表了 [链接] 中的数据。在这种情况下，折线图显示了当您爬山时空气变得多么稀薄。图的横轴显示海拔高度，以海拔米数衡量。纵轴测量每个高度的空气密度。空气密度通过一立方米空间（即一个高、宽、深都为一米的盒子）中的空气重量来衡量。如图所示，空气压力在地面水平最高，随着您向上攀登而变轻。 [链接] 显示，一立方米的海拔 500 米的空气重量约为 1 公斤（约 2.2 磅）。但是，随着海拔升高，空气密度下降。珠穆朗玛峰顶峰的海拔约为 8,828 米，一立方米的空气重量仅为 0.023 公斤。高山上的稀薄空气解释了为什么许多登山者在到达山顶时需要使用氧气罐。

海拔高度-空气密度关系
海拔高度（米）	空气密度（kg/立方米）
0	1.200
500	1.093
1,000	0.831
1,500	0.678
2,000	0.569
2,500	0.484
3,000	0.415
3,500	0.357
4,000	0.307
4,500	0.231
5,000	0.182
5,500	0.142
6,000	0.100
6,500	0.085
7,000	0.066
7,500	0.051
8,000	0.041
8,500	0.025
9,000	0.022
9,500	0.019
10,000	0.014

这两个图中的身长-体重关系和海拔高度-空气密度关系代表平均值。如果您要收集不同海拔高度的实际空气压力数据，不同地理位置的相同海拔高度将具有略微不同的空气密度，这取决于纬度、当地天气条件和空气湿度等因素。同样，在测量之前折线图中的儿童身高和体重时，特定身高的儿童会有一系列不同的体重，一些高于平均水平，一些低于平均水平。在现实世界中，这种数据变化很常见。研究人员的任务是以一种有助于理解典型模式的方式组织数据。统计学研究，尤其是与计算机统计和电子表格程序相结合时，对组织这种数据、绘制折线图和寻找典型的潜在关系非常有帮助。对于大多数经济学和社会科学专业的学生来说，统计学课程将在某个时候成为必修课。

一种常见的折线图被称为时间序列图，其中横轴显示时间，纵轴显示另一个变量。因此，时间序列图显示了一个变量如何随时间变化。 [链接] 显示了自 1975 年以来的美国失业率，失业率被定义为想要工作并正在寻找工作但找不到工作的成年人的百分比。每年失业率的点都绘制在图表上，然后用一条线连接这些点，显示自 1975 年以来失业率是如何上下波动的。折线图可以很容易地看到，例如，在此期间的最高失业率在 1980 年代初和 2010 年略低于 10%，而失业率在 1990 年代初至 1990 年代末下降，然后在 2000 年代初上升，然后下降，然后在 2008 年至 2009 年的经济衰退期间急剧上升。

饼图

饼图（有时称为饼状图）用于显示总体如何划分为各个部分。一个圆代表一个整体。这个圆形“饼”的切片显示了子组的相对大小。

[链接] 显示了 1970 年、2000 年和 2030 年（预测）美国人口如何划分为儿童、劳动年龄成年人和老年人。信息首先在 [链接] 中用数字表示，然后在三个饼图中表示。 [链接] 中的第一列显示了三年中的美国人口总数。第 2-4 列根据年龄组对总数进行分类——从出生到 18 岁，从 19 岁到 64 岁，以及 65 岁及以上。在第 2-4 列中，第一个数字显示每个年龄段的实际人数，而括号中的数字显示该年龄段占总人口的百分比。

美国年龄分布，1970 年、2000 年和 2030 年（预测）
年份	总人口	19 岁及以下	20-64 岁	65 岁以上
1970	2.05 亿	77.2 (37.6%)	107.7 (52.5%)	20.1 (9.8%)
2000	2.754 亿	78.4 (28.5%)	162.2 (58.9%)	34.8 (12.6%)
2030	3.511 亿	92.6 (26.4%)	188.2 (53.6%)	70.3 (20.0%)

在饼图中，饼图的每个切片代表总量的份额，或百分比。例如，50% 将是饼图的一半，20% 将是饼图的五分之一。 [链接] 中的三个饼图显示，美国 65 岁及以上人口的份额正在增长。饼图可以让您直观地了解 1970 年、2000 年和 2030 年不同年龄组的相对大小，而无需您仔细查看表格中的具体数字和百分比。饼图的一些常见示例包括：按年龄、收入水平、种族、宗教、职业划分人口；按规模、行业、员工人数对不同的企业进行分类；以及将政府支出或税收划分为主要类别。

条形图

柱状图使用不同条形的高度来比较数量。 [链接] 列出了世界上人口最多的 12 个国家。 [链接] 在柱状图中提供了相同的数据。条形的高度对应于每个国家的人口。尽管您可能知道中国和印度是世界上人口最多的国家，但看到图表上的条形如何超过其他国家有助于说明各国人口规模之间差异的程度。

世界人口最多的前 12 个国家
国家	人口
中国	1,369
印度	1,270
美国	321
印度尼西亚	255
巴西	204
巴基斯坦	190
尼日利亚	184
孟加拉国	158
俄罗斯	146
日本	127
墨西哥	121
菲律宾	101

柱状图可以细分，以揭示类似于我们从饼图中获得的信息。 [链接] 提供了三个基于来自 [链接] 关于 1970 年、2000 年和 2030 年美国年龄分布的信息的柱状图。 [链接] (a) 为每一年显示三条条形，代表每一年每个年龄段的人数。 [链接] (b) 为每一年仅显示一条条形，但不同的年龄组现在在条形内被阴影化。在 [链接] (c) 中，仍然基于相同的数据，纵轴测量百分比而不是人数。在这种情况下，所有三个柱状图的高度都相同，代表人口的 100%，每个条形根据每个年龄组的人口百分比进行划分。对于读者来说，浏览多个柱状图并比较阴影区域，有时比尝试比较多个饼图更容易。

[链接] 和 [链接] 显示了条形如何代表国家或年份，以及纵轴如何代表数值或百分比值。柱状图还可以比较大小、数量、比率、距离和其他定量类别。

比较折线图、饼图和柱状图

现在您已经熟悉了饼图、柱状图和折线图，那么您如何知道为您的数据使用哪个图呢？饼图通常比折线图更能显示一个整体组是如何被划分的。但是，如果饼图有太多切片，就很难解释。

柱状图在比较数量时特别有用。例如，如果您正在研究不同国家的人口，如 [链接]，柱状图可以显示多个国家人口规模之间的关系。它不仅可以显示这些关系，还可以显示人口内部不同群体的细分。

折线图通常是说明两个都在变化的变量之间关系的最有效格式。例如，时间序列图可以显示随着时间的推移而变化的模式，比如失业率随时间的变化。折线图广泛应用于经济学中，以展示关于价格、工资、买卖数量、经济规模的连续数据。

图表如何具有误导性

图表不仅揭示模式，还可以改变模式的感知方式。要了解这可能的一些方式，请考虑 [链接]、 [链接]和 [链接]中的折线图。这些图表都说明了失业率——但从不同的角度。

假设您想要一个图表，它给人的印象是 2009 年失业率的上升并不大，或者从历史标准来看并不特别。您可能会选择像 [链接](a) 中那样展示您的数据。 [链接] (a) 包含之前在 [链接]中展示的大部分相同数据，但相对于纵轴，横轴拉伸得更长。通过将图表扩展和展平，视觉效果是失业率的上升并不大，并且与过去失业率的某些上升类似。现在想象一下您想强调 2009 年失业率大幅上升。在这种情况下，使用相同的数据，您可以将纵轴相对于横轴拉伸，就像 [链接] (b) 中那样，这使得所有失业率的上升和下降看起来都更大。

无需更改轴的长度，但通过更改纵轴上的刻度，可以实现类似的效果。在 [链接] (c) 中，纵轴上的刻度从 0% 到 30%，而在 [链接] (d) 中，纵轴上的刻度从 3% 到 10%。与 [链接]相比，其中纵轴上的刻度从 0% 到 12%， [链接] (c) 使失业率的波动看起来更小，而 [链接] (d) 使其看起来更大。

改变图表感知的另一种方法是通过更改图表上绘制的点数来减少变化量。 [链接] (e) 显示了五年平均的失业率。通过平均掉一些年与年之间的变化，线条看起来更平滑，波动更少。实际上，失业率是每月发布的， [链接] (f) 显示了自 1960 年以来的月度数据，这些数据比五年平均值波动更大。 [链接] (f) 也是图表如何压缩大量数据的生动说明。该图表包含自 1960 年以来的月度数据，在近 50 年的时间里，累计了近 600 个数据点。以数字形式阅读这 600 个数据点的列表会让人昏昏欲睡。但是，您可以从图表中非常快地对这 600 个数据点有一个很好的直观感受。

操纵图表感知的最后一个技巧是，通过仔细选择起点和终点，您可以影响对变量是上升还是下降的感知。原始数据显示失业率总体模式在 1960 年代较低，但在 1970 年代中期、1980 年代初、1990 年代初、2000 年代初和 2000 年代后期出现激增。 [链接] (g) 然而，显示了一个图表，该图表仅追溯到 1975 年，这给人的印象是，失业率在一段时间内或多或少地逐渐下降，直到 2009 年的经济衰退将其推回到其“原始”水平——如果从 1975 年左右的高点开始，这是一个合理的解释。

这些技巧——或者我们是否应该称之为“演示选择”——并不局限于折线图。在一个饼图中，有很多小的切片和一个大的切片，必须有人决定最初应该使用哪些类别来产生这些切片，从而使一些切片看起来比其他切片更大。如果您正在制作柱状图，您可以使纵轴更高或更短，这将倾向于使条形高度的变化看起来更大或更小。

能够阅读图表是一项必不可少的技能，无论是在经济学领域还是在生活中。图表只是一个视角或观点，它是由本节中讨论的选择所形成的，例如包含哪些数据或时间段、数据或组如何划分、纵轴和横轴的相对大小、纵轴上使用的刻度是否从零开始。因此，任何图表都应该谨慎对待，记住底层关系可能对不同的解释持开放态度。

关键概念和总结

数学是理解经济学的工具，经济关系可以用代数或图表来数学表达。一条直线的代数方程是 y = b + mx，其中 x 是横轴上的变量，y 是纵轴上的变量，b 项是 y 轴截距，m 项是斜率。一条直线的斜率在直线上任何一点都是相同的，它表示两个经济变量之间的关系（正、负或零）。

经济模型可以用代数或图形方式求解。图表允许您以视觉方式说明数据。它们可以通过压缩数字数据并提供对数据中关系的直观感受，来说明模式、比较、趋势和分配。折线图显示了两个变量之间的关系：一个显示在横轴上，一个显示在纵轴上。饼图显示了某物的分配方式，例如一笔钱或一群人。饼图中每个切片的尺寸都绘制出来以代表与之对应的整个百分比。柱状图使用条形的高度来显示关系，其中每个条形代表某个实体，比如一个国家或一群人。柱状图上的条形也可以细分为段，以显示子组。

任何图表都是对主题的单一视觉视角。它留下的印象将基于许多选择，例如包含哪些数据或时间段、数据或组如何划分、纵轴和横轴的相对大小、纵轴上使用的刻度是否从零开始。因此，任何图表都应该持有一定程度的怀疑态度，记住底层关系可能对不同的解释持开放态度。

复习问题

列举三种图表类型，并简要说明何时最适合使用每种图表类型。

折线图上的斜率是什么？

饼图的切片代表什么？

为什么柱状图是说明比较的最佳方式？

正斜率的外观与负斜率和零斜率有何不同？