此处包含的集合论概述采用朴素
定义。 (集合) 一个集合 不同 元素(s)
一个集合
示例。 (不是“明确定义”的集合)
简单的学校课程的集合不是
我们有不同的方法来描述
文字描述：例如，一个集合 S {\displaystyle S}
列举法：集合中的元素列在一对花括号内，例如， S = def { January, March, February, April, May, June, July, August, September, October, November, December } {\displaystyle S{\overset {\text{ def }}{=}}\{{\text{January, }}{\color {darkgreen}{\text{March, February, }}}{\text{April, May, June, July, August, September, October, November, December}}\}} 元素的顺序 不重要的 { January, February, March, April, May, June, July, August, September, October, November, December } {\displaystyle \{{\text{January, }}{\color {darkgreen}{\text{February, March, }}}{\text{April, May, June, July, August, September, October, November, December}}\}} 集合生成式: { ⏟ The set of x ⏟ all elements x : ⏟ such that P ( x ) ⏟ the property P ( x ) holds } {\displaystyle \underbrace {\{} _{{\text{The set of}}\;}\underbrace {x} _{{\text{all elements }}x\;}\underbrace {:} _{\text{such that }}\underbrace {P(x)} _{{\text{the property }}P(x){\text{ holds}}}\}} (右括号也必须写出来)。
例如， S = def { x : x is a month in a year } {\displaystyle S{\overset {\text{ def }}{=}}\{x:x{\text{ is a month in a year}}\}}
示例. (空集) 集合 { } {\displaystyle \{\}} 空集 ∅ {\displaystyle \varnothing }
练习。
示例。
apple ∈ { apple, orange, banana } {\displaystyle {\text{apple}}\in \{{\text{apple, orange, banana}}\}} ∅ ∈ { ∅ } {\displaystyle \varnothing \in \{\varnothing \}} ∅ ∉ ∅ {\displaystyle \varnothing \notin \varnothing }
练习。
示例。
设 S 1 {\displaystyle S_{1}} S 1 {\displaystyle S_{1}} { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}
设 S 2 {\displaystyle S_{2}} S 2 {\displaystyle S_{2}} { H , T } {\displaystyle \{H,T\}} H {\displaystyle H} T {\displaystyle T}
练习. 艾米参加了一个抽奖活动，一等奖是一辆汽车。假设我们说如果艾米获得一等奖，结果为 1，否则为 0，那么包含所有结果的集合是什么？
解答
这个集合是 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}
定义. (集合相等) 当两个 集合 相等 相同
定义： (全集) 全集 U {\displaystyle U}
备注。
在 概率 全集 Ω {\displaystyle \Omega } 样本空间
示例： 掷六面骰子的样本空间为 Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}
练习。 抛硬币的样本空间是什么？（使用 H {\displaystyle H} T {\displaystyle T}
解答
样本空间是 Ω = { H , T } {\displaystyle \Omega =\{H,T\}}
定义。 （基数）基数 有限 元素的数量
示例。
# ( { { 1 } , 2 , 3 } ) = 3 {\displaystyle \#({\big \{}\{1\},2,3{\big \}})=3} # ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \#(\varnothing )=0} N {\displaystyle \mathbb {N} } 正
练习。
在本节中，我们介绍集合之间的 关系
定义。 (韦恩图) 一个 韦恩图 所有
备注。
它对于说明集合之间的一些简单关系，并使这些关系变得清晰非常有用。
我们也可以在韦恩图中添加各种注释，例如每个集合的基数，以及每个集合所包含的元素。
使用韦恩图说明 子集 :
A ⊆ B (A ≠ B):
*-----------------------*
| |
| |
| *----------* | <---- B
| | | |
| | A | |
| | | |
| *----------* |
*-----------------------*
示例。
{ 1 , 3 } ⊆ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}\subseteq \{1,2,3\}} 韦恩图 :
*--------------------*
| *----------* 2 |
| | 1 3 | |
| *----------* |
*--------------------*
{ { 1 } } ⊈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{\{1\}\}\not \subseteq \{1,2,3\}} { 1 } ∉ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1\}\notin \{1,2,3\}} 可以证明，对于每个集合 S {\displaystyle S} ∅ ⊆ S {\displaystyle \varnothing \subseteq S}
示例。 令 Ω {\displaystyle \Omega } S {\displaystyle S} 奇数 S ⊆ Ω {\displaystyle S\subseteq \Omega }
示例： （区间）区间 R {\displaystyle \mathbb {R} } 子集 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} a < b {\displaystyle a<b} ( a , b ) = def { x ∈ R : a < x < b } ; [ a , b ) = def { x ∈ R : a ≤ x < b } ; ( a , b ] = def { x ∈ R : a < x ≤ b } ; [ a , b ] = def { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } . {\displaystyle {\begin{aligned}{\color {Maroon}(}a,b{\color {Maroon})}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {Maroon}<}\;x\;{\color {Maroon}<}\;b\};\\{\color {darkgreen}[}a,b{\color {Maroon})}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {darkgreen}\leq }\;x\;{\color {Maroon}<}\;b\};\\{\color {Maroon}(}a,b{\color {darkgreen}]}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {Maroon}<}\;x\;{\color {darkgreen}\leq }\;b\};\\{\color {darkgreen}[}a,b{\color {darkgreen}]}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {darkgreen}\leq }\;x\;{\color {darkgreen}\leq }\;b\}.\\\end{aligned}}} ( − ∞ , ∞ ) = R {\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }
我们还有 [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle [-\infty ,\infty ]} 扩展实数 [ − ∞ , ∞ ] = ( − ∞ , ∞ ) ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle [-\infty ,\infty ]=(-\infty ,\infty )\cup \{-\infty ,\infty \}} ∞ {\displaystyle \infty } − ∞ {\displaystyle -\infty }
例子。 如果 A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle U=\{1,2,3,4,5\}} A c = { 4 , 5 } {\displaystyle A^{c}=\{4,5\}}
文氏图 :
*-----------------------*
| |
| A 4 5 |
| *----------* |
| | | | <---- U
| | 1 2 3 | |
| | | |
| *----------* |
*-----------------------*
练习。
概率论大量使用了集合运算，本节将对此进行讨论。
备注。
A ∪ B {\displaystyle A\cup B}
示例。
{ apple , orange } ∪ { orange , red } = { apple , orange , red } {\displaystyle \{{\text{apple}},{\text{orange}}\}\cup \{{\text{orange}},{\text{red}}\}=\{{\text{apple}},{\text{orange}},{\text{red}}\}} 文氏图 :
*----------------*
| |
| red *-------*--------*
| | orange| |
*--------*-------* |
| apple |
*----------------*
下面介绍并集运算具有的某些基本性质：交换律和结合律。
备注。
由于结合律，我们可以毫不含糊地写出三个或更多集合的并集。例如，我们可以直接写 A ∪ B ∪ C {\displaystyle A\cup B\cup C} A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C {\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}
示例。 设 A 1 = { 1 , 2 } , A 2 = { 3 , 4 , 5 } {\displaystyle A_{1}=\{1,2\},A_{2}=\{3,4,5\}} A 3 = { 6 , 7 } {\displaystyle A_{3}=\{6,7\}}
⋃ i = 1 3 A i = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{3}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=\{1,2,3,4,5,6,7\}} ⋃ i = 2 3 A i = A 2 ∪ A 3 = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle \bigcup _{i=2}^{3}A_{i}=A_{2}\cup A_{3}=\{3,4,5,6,7\}} A 1 ∪ A 3 = { 1 , 2 , 6 , 7 } {\displaystyle A_{1}\cup A_{3}=\{1,2,6,7\}} ( ⋃ i = m n A i {\displaystyle \bigcup _{i=m}^{n}A_{i}} A m ∪ A m + 1 ∪ ⋯ ∪ A n {\displaystyle A_{m}\cup A_{m+1}\cup \dotsb \cup A_{n}} n > m {\displaystyle n>m} ⋃ i = m ∞ A i {\displaystyle \bigcup _{i=m}^{\infty }A_{i}} A m ∪ A m + 1 ∪ ⋯ {\displaystyle A_{m}\cup A_{m+1}\cup \dotsb }
备注。
A ∩ B {\displaystyle A\cap B}
示例。
{ 1 , 2 , 3 } ∩ { 2 , 3 , 4 } = { 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}} { 1 , 2 , 3 } ∩ { 4 , 5 , 6 } = ∅ {\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }
例子。 集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} { 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \{4,5,6\}}
备注。
也就是说， A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 不相交
如果多个集合是 成对 不相交
文氏图
*-----* *-----* *-----*
| | | | | |
| A | | B | | C |
*-----* *-----* *-----*
(A, B and C are disjoint)
*----------------*
| | <---- D
| *--* *-------*--------*
| | | | | |
*-*--*---*-------* | <--- E
| | | |
*--* *----------------*
^
|
F
(D, E and F are not disjoint, but E and F are disjoint)
示例。 对于每个正整数 j {\displaystyle j} A j = { n ∈ N : n ≥ j } {\displaystyle A_{j}=\{n\in \mathbb {N} :n\geq j\}} ⋂ i = 1 10 A i = { 1 , 2 , 3 , … } ∩ { 2 , 3 , 4 , … } ∩ ⋯ ∩ { 10 , 11 , 12 , … } = { 10 , 11 , 12 , … } = { n ∈ N : n ≥ 10 } = A 10 . {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{10}A_{i}=\{1,2,3,\dotsc \}\cap \{2,3,4,\dotsc \}\cap \dotsb \cap \{10,11,12,\dotsc \}=\{10,11,12,\dotsc \}=\{n\in \mathbb {N} :n\geq 10\}=A_{10}.}
以下结果将并集运算和交集运算结合在一起。
示例。 令 A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}} C = { 1 , 5 , 6 } {\displaystyle C=\{1,5,6\}} A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)} A , B , C {\displaystyle A,B,C}
解 A ∩ ( B ∪ C ) = A ∩ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A\cap (B\cup C)=A\cap \{1,2,3,4,5,6\}=\{1,2,3\}} ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) = { 2 , 3 } ∪ { 1 } = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle (A\cap B)\cup (A\cap C)=\{2,3\}\cup \{1\}=\{1,2,3\}}
练习。 验证这三个集合是否满足分配律 (b)。
解答
首先， A ∪ ( B ∩ C ) = A ∪ ∅ = A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A\cup (B\cap C)=A\cup \varnothing =A=\{1,2,3\}} ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } ∩ { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle (A\cup B)\cap (A\cup C)=\{1,2,3,4\}\cap \{1,2,3,5,6\}=\{1,2,3\}}
示例。
{ 1 , 2 , 3 } ∖ { 1 , 2 } = { 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{1,2\}=\{3\}} { 1 , 2 , 3 } ∖ { 1 , 2 , 3 } = ∅ {\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{1,2,3\}=\varnothing } { 1 , 2 , 3 } ∖ { 4 , 5 , 6 } = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{4,5,6\}=\{1,2,3\}}
定理。 (德摩根定律) 令 B , A 1 , A 2 , … {\displaystyle B,A_{1},A_{2},\dotsc } B ∖ ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ) = ( B ∖ A 1 ) ∩ ( B ∖ A 2 ) ∩ ⋯ and B ∖ ( A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ) = ( B ∖ A 1 ) ∪ ( B ∖ A 2 ) ∪ ⋯ {\displaystyle B\setminus (A_{1}\cup A_{2}\cup \dotsb )=(B\setminus A_{1})\cap (B\setminus A_{2})\cap \dotsb {\text{ and }}B\setminus (A_{1}\cap A_{2}\cap \dotsb )=(B\setminus A_{1})\cup (B\setminus A_{2})\cup \dotsb }
备注。
特殊情况 : 如果 B = U {\displaystyle B=U} ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ) c = A 1 c ∩ A 2 c ∩ ⋯ and ( A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ) c = A 1 c ∪ A 2 c ∪ ⋯ {\displaystyle (A_{1}\cup A_{2}\cup \dotsb )^{c}=A_{1}^{c}\cap A_{2}^{c}\cap \dotsb {\text{ and }}(A_{1}\cap A_{2}\cap \dotsb )^{c}=A_{1}^{c}\cup A_{2}^{c}\cup \dotsb }
示例. 令 A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 1 , 3 } , C = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{1,3\},C=\{1,2,3,4\}} U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle U=\{1,2,3,4,5\}} A , B , C {\displaystyle A,B,C}
(a) 验证 A ∖ ( B ∪ C ) = ( A ∖ B ) ∩ ( A ∖ C ) {\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)}
(b) 验证 C ∖ ( A ∪ B ) = ( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}
解答
(a) 首先， A ∖ ( B ∪ C ) = A ∖ { 1 , 2 , 3 , 4 } = ∅ {\displaystyle A\setminus (B\cup C)=A\setminus \{1,2,3,4\}=\varnothing } ( A ∖ B ) ∩ ( A ∖ C ) = { 2 } ∩ ∅ = ∅ {\displaystyle (A\setminus B)\cap (A\setminus C)=\{2\}\cap \varnothing =\varnothing }
(b) 首先， C ∖ ( A ∪ B ) = C ∖ { 1 , 2 , 3 } = { 4 } {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=C\setminus \{1,2,3\}=\{4\}} ( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ) = { 4 } ∩ { 2 , 4 } = { 4 } {\displaystyle (C\setminus A)\cup (C\setminus B)=\{4\}\cap \{2,4\}=\{4\}}
练习. 验证 ( A ∪ B ∪ C ) c = A c ∩ B c ∩ C c {\displaystyle (A\cup B\cup C)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}} A , B , C {\displaystyle A,B,C}
解答
首先， ( A ∪ B ∪ C ) c = ( { 1 , 2 , 3 , 4 } ) c = { 5 } {\displaystyle (A\cup B\cup C)^{c}=(\{1,2,3,4\})^{c}=\{5\}} A c ∩ B c ∩ C c = { 4 , 5 } ∩ { 2 , 4 , 5 } ∩ { 5 } = { 5 } {\displaystyle A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}=\{4,5\}\cap \{2,4,5\}\cap \{5\}=\{5\}}
示例。
P ( { 1 , 2 } ) = { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 1 , 2 } } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}} P ( ∅ ) = { ∅ } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}} 不是
备注。
幂集 n {\displaystyle n} 2 n {\displaystyle 2^{n}}
示例。 令 Ω = { H , T } {\displaystyle \Omega =\{H,T\}} H {\displaystyle H} T {\displaystyle T} P ( Ω ) = { ∅ , { H } , { T } , { H , T } } . {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}.}
练习。 假设我们掷硬币两次。 那么，这个随机试验的样本空间是 Ω = { H H , H T , T H , T T } {\displaystyle \Omega =\{HH,HT,TH,TT\}} H H {\displaystyle HH} H T {\displaystyle HT} H T {\displaystyle HT} T H {\displaystyle TH}
(a) 求幂集 P ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )} 提示 2 4 = 16 {\displaystyle 2^{4}=16}
(b) 定义集合 S {\displaystyle S} Ω {\displaystyle \Omega } H H {\displaystyle HH} S = { X ⊆ Ω : H H ∈ X } {\displaystyle S=\{X\subseteq \Omega :HH\in X\}} # ( S ) {\displaystyle \#(S)}
解答
(a) 幂集是 P ( Ω ) = { ∅ , { H H } , { H T } , { T H } , { T T } , { H H , H T } , { H H , T H } , { H H , T T } , { H T , T H } , { H T , T T } , { T H , T T } , { H H , H T , T H } , { H H , H T , T T } , { H H , T H , T T } , { H T , T H , T T } , { H H , H T , T H , T T } } {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(\Omega )={\bigg \{}&\varnothing ,{\color {darkgreen}\{HH\}},\{HT\},\{TH\},\{TT\},\\&{\color {darkgreen}\{HH,HT\},\{HH,TH\},\{HH,TT\}},\{HT,TH\},\{HT,TT\},\{TH,TT\},\\&{\color {darkgreen}\{HH,HT,TH\},\{HH,HT,TT\},\{HH,TH,TT\}},\{HT,TH,TT\},{\color {darkgreen}\{HH,HT,TH,TT\}}{\bigg \}}\end{aligned}}} Ω {\displaystyle \Omega } 绿色 的) 包含结果 H H {\displaystyle HH} # ( S ) = 8 {\displaystyle \#(S)=8}
定义。 ( n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} S 1 , … , S n {\displaystyle S_{1},\dotsc ,S_{n}} n {\displaystyle n} S 1 × ⋯ × S n {\displaystyle S_{1}\times \dotsb \times S_{n}} { ( s 1 , … , s n ) : s i ∈ S i for each i ∈ { 1 , … , n } } . {\displaystyle {\big \{}(s_{1},\dotsc ,s_{n}):s_{i}\in S_{i}{\text{ for each }}i\in \{1,\dotsc ,n\}{\big \}}.}
例子。 令 A = { 1 , 2 } , B = { 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2\},B=\{2,3\}} C = { 3 , 4 } {\displaystyle C=\{3,4\}}
A × B = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) } {\displaystyle A\times B=\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\}} B × C = { ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) } {\displaystyle B\times C=\{(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}} A × B × C = { ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 3 ) , ( 1 , 3 , 4 ) , ( 2 , 2 , 3 ) , ( 2 , 2 , 4 ) , ( 2 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 4 ) } {\displaystyle A\times B\times C=\{(1,2,3),(1,2,4),(1,3,3),(1,3,4),(2,2,3),(2,2,4),(2,3,3),(2,3,4)\}}
练习. 一家餐厅提供套餐午餐，顾客可以从 A、B、C 三组中 各 一样
A 组：鸡蛋、培根
B 组：牛排、三文鱼
C 组：茶、牛奶、水 我们定义集合 A , B , C {\displaystyle A,B,C}
A = { egg , beacon } {\displaystyle A=\{{\text{egg}},{\text{beacon}}\}} B = { steak , salmon } {\displaystyle B=\{{\text{steak}},{\text{salmon}}\}} C = { tea , milk , water } {\displaystyle C=\{{\text{tea}},{\text{milk}},{\text{water}}\}} (a) 找出集合 A × B × C {\displaystyle A\times B\times C}
(b) 假设餐厅的茶卖完了，所以顾客现在不能在 C 组选择茶。假设集合 A × B × C ∗ {\displaystyle A\times B\times C^{*}} C ∗ {\displaystyle C^{*}} A × B × C ∗ {\displaystyle A\times B\times C^{*}}
解答
(a) 集合 A × B × C {\displaystyle A\times B\times C} A × B × C = { ( egg , steak , tea ) , ( egg , steak , milk ) , ( egg , steak , water ) , ( egg , salmon , tea ) , ( egg , salmon , milk ) , ( egg , salmon , water ) , ( beacon , steak , tea ) , ( beacon , steak , milk ) , ( beacon , steak , water ) , ( beacon , salmon , tea ) , ( beacon , salmon , milk ) , ( beacon , salmon , water ) } {\displaystyle {\begin{aligned}A\times B\times C={\bigg \{}&({\text{egg}},{\text{steak}},{\text{tea}}),({\text{egg}},{\text{steak}},{\text{milk}}),({\text{egg}},{\text{steak}},{\text{water}}),\\&({\text{egg}},{\text{salmon}},{\text{tea}}),({\text{egg}},{\text{salmon}},{\text{milk}}),({\text{egg}},{\text{salmon}},{\text{water}}),\\&({\text{beacon}},{\text{steak}},{\text{tea}}),({\text{beacon}},{\text{steak}},{\text{milk}}),({\text{beacon}},{\text{steak}},{\text{water}}),\\&({\text{beacon}},{\text{salmon}},{\text{tea}}),({\text{beacon}},{\text{salmon}},{\text{milk}}),({\text{beacon}},{\text{salmon}},{\text{water}}){\bigg \}}\end{aligned}}} C ∗ {\displaystyle C^{*}} { milk , water } {\displaystyle \{{\text{milk}},{\text{water}}\}} A × B × C ∗ {\displaystyle A\times B\times C^{*}} 2 × 2 × 2 = 8 {\displaystyle 2\times 2\times 2=8}
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\color {Maroon}(}a,b{\color {Maroon})}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {Maroon}<}\;x\;{\color {Maroon}<}\;b\};\\{\color {darkgreen}[}a,b{\color {Maroon})}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {darkgreen}\leq }\;x\;{\color {Maroon}<}\;b\};\\{\color {Maroon}(}a,b{\color {darkgreen}]}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {Maroon}<}\;x\;{\color {darkgreen}\leq }\;b\};\\{\color {darkgreen}[}a,b{\color {darkgreen}]}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {darkgreen}\leq }\;x\;{\color {darkgreen}\leq }\;b\}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5949b1085a3f1707531e43c232445784f5e6ff)
![{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13233867b861889693a36843d98e51d90d38f9f)
![{\displaystyle [-\infty ,\infty ]=(-\infty ,\infty )\cup \{-\infty ,\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498f006f41d435e018c9bb29ec3bdd8fc3768059)
