概率/计数原理

计数原理

在我们深入研究概率和赔率的性质之前，我们需要理解计数原理。我们使用计数原理来确定有多少种不同的方法可以选择/做某些事件。通过例子来定义这个原理更容易

独立事件

假设约翰在一家熟食店三明治店。有 3 种不同的面包、3 种不同的奶酪、3 种不同的调味品和 3 种不同的蔬菜可以放在他的三明治上，假设他只能从每种类别中选择一种放在他的三明治上。他可以有多少种不同的方法来制作他的三明治？

由于选择奶酪不会影响蔬菜、调味品或面包的选择数量，所以这些事件被称为独立事件。对于这个问题，我们将乘以 $3\times 3\times 3\times 3$ ，所以 $3^{4}$ ，也就是 81。所以有 81 种不同的可能组合来制作这个三明治。

练习题

1) 托马斯去麦当劳餐厅，选择自己制作汉堡。他有 2 种不同的奶酪、3 种不同的面包和 3 种不同的酱汁可供选择，但他只能从每种类别中选择一种。他可以有多少种不同的方法来制作这个汉堡？

2) 戴安正在为她的家人订披萨。披萨有 4 种不同的尺寸可供选择。此外，她还必须从 5 种配料中选择一种放在披萨上，以及从 3 种不同类型的奶酪中选择一种。此外，她必须选择 3 种不同类型的饼皮中的一种。她可以有多少种不同的方法来制作她的披萨？

3)

a) 从数字 2、3、4、5、7 和 9 中可以形成多少个三位数？

b) 这些数字中，有多少小于 400？

答案

1) $(2)(3)(3)=18$

2) $(4)(5)(3)(3)=180$

3)

a) 由于有六个可用的数字，答案是 $(6)(6)(6)=216$

b) 为了使三位数的值小于 400，我们只有两种选择，即 2 或 3。之后我们可以自由地选择另外两个数字。所以答案是 $(2)(6)(6)=72$.

依赖事件

假设约翰现在在图书馆工作。他必须以任何顺序将 5 本书放在书架上。他可以有多少种不同的方法将书放在书架上？与独立事件不同，当约翰把一本书放在书架上时，就会从剩余的书籍选择中排除一本书，作为下一本书放在书架上的选择；因此，这些被称为依赖事件。一开始，他有 5 种不同的选择，所以乘法问题中的第一个数字将是 5。现在少了一本书，数字减少到 4。接下来，减少到 3，以此类推。所以，问题将是

$(5)(4)(3)(2)(1)$

但是，有一个符号代表这个想法。一个 $!$ 代表术语阶乘。所以，例如，$3!=(3)(2)(1)$ 。阶乘在统计学和概率论中非常有用。

因此，问题可以改写为 $5!$ ，最终等于 120。

然而，并非所有依赖事件问题都那么简单。假设有一场狗狗比赛，有 10 只狗参加。从这 10 只狗中选出冠军和亚军，有多少种不同的方法？这个问题实际上可以比上一个问题更简单，但它不涉及阶乘。那么，裁判有多少种不同的方法来确定冠军？当然，有 10 只不同的狗，所以有 10 种不同的方法。接下来，还有多少只狗可以从里面选择亚军？好吧，你已经选走了一只，所以只剩下 9 只了。不过，你不会进行阶乘运算，你只需要将 10 和 9 相乘，得到 90。

独立事件还是依赖事件？

为了帮助你区分两者，我们将做一些更多的例子，但我们必须在解决问题之前决定它是依赖事件还是独立事件。

假设你正在创建一个 5 位数的车库门开启器密码（数字包括 0-9）。如果没有任何限制，这些事件是相互独立的还是相互依赖的？当然，没有任何限制，因为你可以用五个 4 来组成密码，所以为了解决这个问题，你需要将 10 自身乘以 5 次，得到 100000。

或者，假设密码的第一个数字不能是 0，并且不能出现重复的数字。显然这些事件是相互依赖的，因为不能出现重复。让我们逐个数字地看一下这个问题。

第一个数字可以是除 0 之外的所有数字，将可能的数字减少到 9 个。这次第二个数字可以是 0，所以可能的数字又回到了 10 个。但是，它不能与前一个数字重复，所以只有 9 种可能的选择。在此之后，由于不能出现重复，数字将每次减少一个，所以这个问题看起来像这样

$(9)(9)(8)(7)(6)={\frac {(9)(9!)}{(5!)}}=27216$

现在，再举一个例子。假设你正在选择你的学校课程表。每天有 8 节课，你可以选择 7 门课。但是，你必须在第 4 节课的时候有一节午饭课。我们可以认为第 4 节课不存在，因为它处于一个固定的位置，因此不会影响可能的选择。有 7 个时间段和 7 个选择，答案很简单，就是 $7!$ 。

$(7!)=5040$

计数原理的回顾

因此，我们使用计数原理来确定做某事（例如制作三明治或选择课程）的不同独特方法。有时，这些事件会相互影响，例如，当你在车库门开启器密码中不能两次选择相同的数字时，它们就是依赖事件。但是，其他时候，一个事件不会影响下一个事件，例如，当你选择三明治的不同奶酪和面包时，它们就是独立事件。计数原理是一个基本的数学概念，也是概率的重要组成部分。

计数规则

规则 1：如果在 $n$ 次试验中的每一次试验，都可以发生 $k$ 个相互排斥且穷举的事件，那么，由一组这样的试验可以产生的不同序列数为 $k^{n}$ 。

• 示例：掷硬币三次产生的可能序列数为 $k^{n}=2^{3}=8$。

规则 2：如果 $k_{1},\dots ,k_{n}$ 是在一系列试验中第 $1,\dots ,n$ 次试验中可以发生的不同的事件数，那么，可以发生的 $n$ 个事件的不同序列数为 $k_{1}\times \cdots \times k_{n}$ 。

• 示例：抛硬币和掷六面骰子产生的所有可能序列的数量为 $(k_{1})(k_{2})=(2)(6)=12$.

规则 3： 排列 $n$ 个可区分的物品的不同方式的数量为 $n!=(1)(2)(3)\times \cdots \times (n-1)(n)$，其中 $0!{\overset {\text{def}}{=}}1$。按顺序排列称为排列。排列 $n$ 个对象的总数为 $n!$（符号 $n!$ 称为 n 阶乘）。

• 示例：按顺序排列 10 个项目的可能方式的数量为 $10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=3,628,800$

规则 4： 从 $n$ 个不同对象中选择并排列 $k$ 个可区分的对象的方式的数量为：${\frac {n!}{(n-k)!}}$，或者如计算器上显示的 [nPr]。

• 示例：从 10 个项目中选择 3 个项目并按顺序排列它们的可能方式的数量为 ${\frac {10!}{(10-3)!}}={\frac {10!}{7!}}=720$.

规则 5： 选择 $k$ 个不同的 $n$ 个可区分对象的组合的总数，与顺序无关（即顺序不重要），为：${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$，或者如计算器上显示的 [nCr]。

• 示例：从 10 个项目中选择 3 个项目，与顺序无关的可能方式的数量为 ${\binom {10}{3}}={\frac {10!}{3!(7!)}}={\frac {720}{6}}=120$.