高中化学/物理化学/热力学1/问题1

阅读“设置”部分中的段落并回答随后的问题。这个问题旨在用交互式会话来代替解释明显事实的理论部分。

设置

一个水平放置的圆柱体被一个垂直的无质量无摩擦滑动绝热活塞分成两部分。左右两部分分别包含 1 摩尔理想气体（摩尔比热为 20 J/mol K），温度为 300 K，体积为 2.0 L。右侧的理想气体通过与外部介质的热接触保持恒温。而左侧的理想气体则与加热器接触，加热器缓慢地加热它，使左侧膨胀。当加热器停止供热时，右侧的体积减小到 1.0 L。

现在回答相应的题目。

• 注意 - 在解决问题之前，请确保你理解了问题的全部内容。这个问题是中等难度的。就像物理化学中的大多数问题一样，它看起来很困难只是因为它的长度。为了理解这个（以及其他所有）问题中的整个场景，请记下必要的数据和你在解决问题时绘制的图表。这样做将使你熟悉问题，并为你提供一些脑力训练。
• 所以在你开始解决之前，画一个放在其曲面上的圆柱体，将其分成两部分。分别为每个部分分配气体参数的值，并注意哪个部分将被加热，哪个部分将保持恒温。

问题

问题1

右侧 R 部分的气体正在经历什么过程？

由于它保持恒温，它正在经历等温过程。此外，由于体积变化缓慢（准静态），它是一个可逆过程。因此，它是一个可逆等温过程。与外部介质的热接触意味着 R 部分可以与外部介质交换热量。这被用来维持 R 部分的恒温。

问题2

L 部分和 R 部分之间的绝热活塞有什么意义？

绝热活塞确保热量不会在两部分之间流动。也就是说，供给 L 部分的热量仅用于加热气体和做 PV 功，而不会传递到 R 部分。

问题3

那么，R 部分的气体所做的功是多少？

使用等温过程的表达式/公式 ∫P_extdV = nRTln(Vf/Vi)。所有值都是已知的，n=1，T = 300 K 恒定，Vf = 1.0 L 和 Vi=2.0 L。答案为 -1.73 x 10^3 J。由于根据 IUPAC 惯例，气体所做的功与 ∫P_extdV 的大小相同，但符号相反，最终答案为 1.73 x 10^3 J。

问题4

R 部分气体的 ∆E 和 q 分别为 ___J 和 ___J。

好吧，在等温过程中，∆E 始终为零，因为对于理想气体，内能仅取决于温度，而温度保持恒定。q 可以使用热力学第一定律来求解，结果为 -1.73 x 10^3 J

问题5

当加热停止时，活塞静止不动。这说明了两个部分中的理想气体压力如何？

如果活塞静止不动，这意味着它处于机械平衡状态。（你能令人满意地解释机械平衡和热力学平衡之间的区别吗？参考任何教科书或维基百科，如果你不能解释，现在记下答案。）这使我们得出结论，作用在其上的净力为零。

换句话说，R 部分气体和 L 部分气体产生的力大小相同，方向相反。将它们的大小相等，P_r x 活塞面积 = P_l x 活塞面积。也就是说，两个部分中理想气体的压力相同！这是一个非常重要的结果，请记住我们是如何得出结论的。

问题6

如果活塞具有有限的质量，圆柱体垂直放置，平衡时压力会相同吗？

绝对不会！你可以画出活塞的自由体图并进行检查。下方部分的理想气体必须平衡来自上方气体的力，以及向下作用的重力。这意味着，下方气体的压力会更高，高出 (活塞质量)g/(活塞面积) 帕斯卡。（说服你自己相信这一点。）

问题7

通过实际积分，求解 L 部分气体的 ∫P_extdV 的值。

这是一个很好的问题，因为它有助于阐明每个变量的意义。L 部分气体的 P_ext 就是它膨胀所对抗的压力。这个压力是 R 部分气体的压力。

∫P_extdV = ∫P_rdV_l

现在我们将 P_r 代入 nRT_r/V_r。

∫P_extdV = ∫P_rdV_l = ∫(nRT_r/V_r)(dV_l) = nRT_r∫(dV_l)/(V_r)

（分子被提出积分符号，因为它是一个常数）

现在是问题的关键步骤。我们能用变量 V_l 对变量 V_r 进行积分吗？绝对不能。所以我们将变量 V_r 代入 [4.0 L - V_l]，并在 2.0L 到 3.0 L 的范围内进行积分。这是因为，圆柱体的总体积将保持在 2.0 + 2.0 = 4.0 L，如果一个部分的体积增加了一定量，另一个部分的体积就会减少相同量。

（V_r = 4.0L - V_l 的代入类似于求解理想气体在等温过程中的 ∫P_extdV 的情况。在那里，由于我们不能对 V 进行 P 积分，所以我们将它代入 nRT/V）

定积分得出积分值为 (nRT_r)(-1)(ln[{4-3}/{4-2}]) = nRT_rln2 = 1.73 x 10^3 J 大小相同，但符号相反，与 R 部分的 ∫P_extdV 相同。请仔细注意这一点。

问题8

我们代入了 P_ext = P_r = nRT_r/V_r. = nRT_r/(4.0 - V_l)。但我们知道，由于这是一个准静态过程，活塞始终处于机械平衡状态，因此两个部分气体的压力始终相同。那么为什么我们没有代入 P_ext = P_r = P_l = nRT/V_l？

我们当然可以这样做。但回顾一下 Q7。分子 nRT_r 是一个常数，可以提出积分符号。nRT_l 也一样吗？不，我们需要将 T_l 代入 V_l 的某个函数，以便继续进行积分。总而言之，我们所做的都是正确的。

问题9

证明在这个场景下，两个部分的∫P_extdV的值总是彼此的加性逆。

考虑∫P_extdV_r + ∫P_extdV_l。为了证明我们的观点，我们将证明这个表达式无论如何都等于零。首先，正如我们上面讨论的，一个部分的P_ext是另一部分理想气体的压力。现在，在我们这里，两者在任何时候都相等（因为过程是准静态的，在每个阶段都保持机械和热力学平衡。说服自己，这个说法会导致我们的结论）。

此外，我们之前已经证明，一个部分的体积变化是另一个部分的体积变化的加性逆。参见问题 7，顺便说一下，这是显而易见的。所以，

dV_r = -dV_l。

因此，∫P_extdV_r + ∫P_extdV_l = ∫P_extdV_r - ∫P_extdV_r = 0。

问题 10

求L 部分气体做的功w、其∆E和加热器提供的热量。

• w = - ∫P_extdV = -1.73 x 10^3 J
• ∆E = nCv∆T。现在求温度变化是一个完全不同的任务。但是要利用你从解决表格中获得的技能。我们知道初始温度。但是对于最终状态，我们只知道体积。温度和压力是未知的。那么我们需要两个方程。第一个是理想气体方程。第二个显然是P_l = P_r = nRT_r/V_r。
• 将此P_l的值代入理想气体方程（不要求数值，这样只会增加一些计算量）。经过大量简化（令我们满意的是），我们得到T_l = 600K。n=1 摩尔，Cv = 20.0 J/K mol，∆T = 300K。这使得答案为1.20 x 10^4 J
• 加热器提供的热量不过是L部分的q，需要利用热力学第一定律求解，结果约等于1.4 x 10^4 J。