数学问题/待添加

2 练习 假设 $f$ 是无限可微的。此外，假设对于每个 $x$，都存在 $n$ 使得 $f^{(n)}(x)=0$。那么 $f$ 是一个多项式。（提示：贝尔的范畴定理。）

练习 $e$ 和 $\pi$ 是无理数。此外，$e$ 既不是代数数，也不是 p-adic 数，但 $e^{p}$ 对所有除 2 以外的 p 都是 p-adic 数。

练习 存在 $\mathbf {R}$ 的一个非空完美子集，其中不包含任何有理数。（提示：使用 e 是无理数的证明。）

练习 构造一个正数序列 $a_{n}$，使得 $\sum _{n\geq 1}a_{n}$ 收敛，但 $\lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}$ 不存在。

练习 设 $a_{n}$ 是一个正数序列。如果 $\lim _{n\to \infty }n\left({a_{n} \over a_{n+1}}-1\right)>1$，那么 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 收敛。

练习 证明一个凸函数是连续的 (回顾一下，一个函数 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一个 凸函数 如果对于所有 $x,y\in (a,b)$ 和所有 $s,t\in [0,1]$ 满足 $s+t=1$，$f(sx+ty)\leq sf(x)+tf(y)$)

练习 证明每一个将 [0,1] 映射到自身的连续函数 f 至少有一个不动点，即 $\exists p\in [0,1]$ 使得 $f(p)=p$
证明：令 $g(x)=x-f(x)$。然后

练习 证明在一个区间上的连续函数空间具有 $\mathbb {R}$ 的基数

练习 令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 是一个单调函数，即 $\forall x,y\in [a,b];x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$。证明 $f$ 有可数个间断点。

练习 假设 $f$ 定义在正实数集上，并具有以下性质：$f(xy)=f(x)+f(y)$。那么 $f$ 是唯一的，是一个对数函数。