脉冲星和中子星/脉冲星计时方法概述

介绍

脉冲星是规则的转子，遵循简单的减速模型，这一假设构成了脉冲星研究中广泛应用的强大技术的基石。该技术被称为脉冲星计时技术。脉冲星计时方法依赖于脉冲星的初始物理模型和一组脉冲到达时间。

根据模型的复杂程度和可获得的观测数据的数量（和质量），脉冲星计时可以提供有关许多脉冲星性质的信息。对于已经观测了几年的脉冲星，通常可以计算其

• 周期：通常在脉冲星发现期间获得周期的估计值。但是，脉冲星计时方法提供了周期测定，具有极高的精度。

• 周期导数：这通常在观测几天后确定，尽管对于一些毫秒脉冲星来说，周期导数只有在几个月后才能测量。

• 位置：至少需要一年的数据才能获得准确的位置测定。位置自然是在黄道坐标中测量的，但通常使用赤道坐标。

• 色散量：如果有多个频率观测可用，则脉冲星计时方法可以提供脉冲星色散量（以及在许多情况下，其随时间变化）的测定。

• 轨道运动参数：通常可以确定双星系统中脉冲星的开普勒参数集（轨道周期、近日点历元、偏心率、近日点经度和轨道的投影半长轴）。

如果有足够的数据，也可以确定后开普勒（相对论）双星参数、脉冲星的视差和自行运动。

各种软件包（如下所述）已实现了脉冲星计时方法。这些软件包需要一组“脉冲到达时间”和每个要处理的脉冲星的初始“计时模型”。脉冲到达时间通常被称为“到达时间”（ToAs）或“站点到达时间”（SATs），通常在一个“到达时间文件”中给出，传统上扩展名为“.tim”。计时模型有时被称为“计时星历”、“脉冲星模型”或“脉冲星参数”，通常在一个扩展名为“.par”的文件中给出。

测量脉冲星到达时间

折叠的脉冲观测有一个已知的开始时间。脉冲到达时间通常通过将脉冲形状的已知模板与实际观测进行互相关来确定实际到达时间。这种互相关通常在傅里叶域中进行。泰勒（1990）论文提供了基本概述，但现在很难获得。在这里，我们重新描述他的工作。

我们假设轮廓已被分成N个箱，并由 $p_{j}$ 定义。标准模板是相同的 $s_{j}$。轮廓和模板的离散傅里叶变换可以写成

$P_{k}e^{i\theta _{k}}=\sum _{j=0}^{N-1}p_{j}e^{i2\pi jk/N}$

$S_{k}e^{i\phi _{k}}=\sum _{j=0}^{N-1}s_{j}e^{i2\pi jk/N}$

模板和轮廓由一个未知的相位偏移、一个比例因子和噪声相关联

$P_{k}e^{i\theta _{k}}=aN+bS_{k}e^{i(\phi _{k}+k\tau )}+G_{k}$

当模板和轮廓之间的差异最小化时，获得最佳匹配，因此我们希望最小化

$\chi ^{2}(b,\tau )=\sum _{k=1}^{N/2}\left[{\frac {P_{k}-bS_{k}e^{i(\phi _{k}-\theta _{k}+k\tau )}}{\sigma _{k}}}\right]^{2}$

这些可以通过分析计算得到。

${\frac {\delta \chi ^{2}}{\delta b}}={\frac {2b}{\sigma ^{2}}}\sum S_{k}^{2}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum P_{k}S_{k}\cos(\phi _{k}-\theta _{k}+k\tau )=0$

${\frac {\delta \chi ^{2}}{\delta b}}={\frac {2b}{\sigma ^{2}}}\sum kP_{k}S_{k}\sin(\phi _{k}-\theta _{k}+k\tau )=0$

这些方程允许程序确定 $\tau$，然后确定 $b$。当然，确定脉冲到达时间的误差也很重要。可以使用以下公式估计误差:

$\sigma _{b}^{2}=\left({\frac {\delta ^{2}\chi ^{2}}{\delta b^{2}}}\right)^{-1}={\frac {\sigma ^{2}}{2\sum S_{k}^{2}}}$

$\sigma _{\tau }^{2}=\left({\frac {\delta ^{2}\chi ^{2}}{\delta \tau ^{2}}}\right)^{-1}={\frac {\sigma ^{2}}{2b\sum k^{2}P_{k}S_{k}\cos(\phi _{k}-\theta _{k}+k\tau )}}$

这些算法已经被更新，可以在时域中确定到达时间（而不是上面显示的频域），并且正在开发新的算法来测量宽带上的脉冲到达时间。

对于tempo或tempo2软件包，脉冲到达时间在类似于以下内容的文件中呈现（请注意，软件包之间格式略有不同）。

FORMAT 1
t110120_155047.czFTp 3094.50000000 55581.68263874327820062 2.33600 PKS
s110120_155046.czFTp 732.27500000 55581.68276815691150006 2.64800 PKS

每个观测结果都在文件中的单行上表示。第一列给出观测结果的标识符（通常是文件名）。第二列提供观测频率（以MHz为单位），第三列给出实际脉冲到达时间（以MJD为单位），第四列提供到达时间测量的误差（以微秒为单位）。最后一列指示用于观测的望远镜。

获取初始计时模型

当发现一颗脉冲星时，通常会知道以下参数：

1. 位置 (RAJ, DECJ)
2. 周期 (P0) 或频率 (F0)
3. 色散量 (DM)
4. 脉冲星是否处于快速双星系统中

参数文件包含以下必需参数：

PSRJ <pulsar name>
RAJ <right ascension hh:mm:ss.ss>
DECJ <declination dd:mm:ss.ss>
P0 <pulse period in seconds> or F0 <pulse frequency in Hz>
PEPOCH <MJD epoch of period determination>
DM <dispersion measure (cm^-3 pc)>

随着更多参数的测量，可以将其包含在参数文件中。对于已知脉冲星，可以通过在“脉冲星名称”框中输入脉冲星名称，然后选择“获取星历”，从 ATNF 脉冲星目录 获取初始计时模型。例如，PSR J1939+2134 的当前星历是：

PSRJ            J1939+2134
RAJ             19:39:38.561297          2.000e-06
DECJ            +21:34:59.12950          4.000e-05
DM              71.0227                  9.000e-04
PEPOCH          52601
F0              641.928233642            1.200e-08
F1              -42.91E-15               6.000e-17
PMRA            0.072                    2.000e-03
PMDEC           -0.415                   3.000e-03
RM              +6.7                     6.000e-01
PX              0.13                     1.300e-01
EPHVER          2
UNITS           TDB

第三列中的值表示参数的误差。但是，目前现有的脉冲星计时软件包并未考虑这些误差。请注意，脉冲星目录是“最佳”可用脉冲星参数的目录。在少数情况下，这些参数并不构成最佳计时模型，但通常可以利用该目录获得足以用于初始处理的模型。

计算地心到达时间

脉冲到达时间是在（通常）地球表面的天文台测量的。当然，地球在自转并绕太阳运行。因此，必须将测量的脉冲到达时间转换为如果天文台位于太阳系质心（称为太阳系地心或SSB）处所测量的到达时间。将台址到达时间修改为表示位于地心的天文台的到达时间后，这些到达时间被称为地心到达时间 (BAT)。

在本节中，我们以从帕克斯天文台观测 PSR J1744+1134 为例。到达时间文件包含以下内容：

s110205_233319.zCFTp 1367.89400000 55598.00404304428645119 0.07600 PKS

因此，测量的脉冲到达时间为 55598.00404304428645119。我们将使用此时间来演示脉冲星计时方法中的过程。

转换为地球时间

测量的到达时间是使用天文台的时间标准确定的。没有一个时间标准是完美的，因此有必要将测量的時間转换为地球时间（TT）的实现。无法直接从天文台时钟转换为地球时间。相反，需要应用一系列时钟校正。在某些情况下，可能存在多种不同的方法来实现地球时间。例如，帕克斯时钟首先被转换为全球定位系统（GPS），然后转换为UTC，最后转换为国际原子时（TAI）实现的地球时间。在tempo/tempo2软件包中，这些时钟校正需要手动更新，并以ASCII文件的形式提供，其中包含给定时间两个时间标准之间的差异。图中给出了一个例子，其中显示了帕克斯天文台和GPS之间的校正（以秒为单位）。

帕克斯天文台时钟和GPS之间的时钟校正

pks2gps.clk文件告诉我们，以下时钟校正跨越了我们请求的到达时间

55597.16493 -0.000000967864
55598.16840 -0.000000963384

第一列是时钟校正测量的儒略日（MJD），第二列是时钟校正的值（以秒为单位）。我们通常使用简单的线性插值来确定实际测量的到达时间的时钟校正。在本例中，我们有

$\Delta T_{\rm {pks2gps}}=-9.6412\times 10^{-7}s$

并使用类似的过程

$\Delta T_{\rm {gps2utc}}=-4.49\times 10^{-9}s$
$\Delta T_{\rm {utc2tai}}=34s$
$\Delta T_{\rm {tai2tt}}=32.184s$

(注意，自儒略日41317以来，$\Delta T_{\rm {utc2tai}}$仅仅代表闰秒的数量。)

例如，将测量的到达时间转换为TT(TAI)所需的总时间校正因此是上述值的总和

$\Delta T_{\rm {clk}}=\Delta T_{\rm {pks2gps}}+\Delta T_{\rm {gps2utc}}+\Delta T_{\rm {utc2tai}}+\Delta T_{\rm {tai2tt}}=66.18399903139s$

转换为质心时间

现在有必要确定将时钟校正后的到达时间转换为质心到达时间所需的额外延迟。

罗默延迟

最明显的延迟仅仅是脉冲在天文台被探测到后到达太阳系质心（SSB）的额外传播时间。这需要了解天文台相对于地球中心的方位以及地球相对于SSB的方位。还需要知道脉冲星的方位。

确定地球相对于SSB的方位

地球相对于SSB的方位是使用行星历表确定的。当前的历表在第XX节中描述。对于本例，我们将使用喷气推进实验室（JPL）DE421历表。

夏皮罗延迟

Shapiro 延迟，$\Delta S_{i}$，代表太阳系中第 i 个天体的 Shapiro 延迟。这里我们需要包括太阳（因为它对延迟的影响最大），以及主要的行星。Shapiro 延迟修正了由于天体质量导致的时空弯曲（Shapiro 1964）。

$\Delta S_{i}=-2{\frac {GM_{i}}{c^{3}}}\ln \left[R(1+\cos \theta \right]$

其中 $G$ 是万有引力常数，$M_{i}$ 是第 i 个天体的质量，$R$ 是观测站和天体之间的距离，$\theta$ 是脉冲星-观测站-天体之间的角度。**请检查此公式**。

所有天体的总 Shapiro 延迟是各个延迟的简单叠加。

$\Delta T_{\rm {shapiro}}=\sum _{i}\Delta S_{i}$

请提供 Shapiro 延迟大小的表格。

计算预拟合脉冲星计时残差

得到的脉冲星发射时间和给定的脉冲星计时模型用于形成计时残差，$R_{i}$

$R_{i}={\frac {\phi _{i}-N_{i}}{\nu }}$

其中 $\phi _{i}$ 描述了脉冲相位的时变，基于模型脉冲频率 ($\nu$) 及其导数（以及故障参数）。$N_{i}$ 是最接近于 $\phi _{i}$ 的整数。

改进计时模型

与模型参数偏移对应的项被拟合到残差中，以改进参数的测量。

研究拟合后计时残差

统计上偏离零的脉冲星计时残差是由以下原因造成的：1) 计时模型中的参数不正确，2) 计时模型不充分，3) 计时软件包中的错误，或 4) 未建模或建模不准确的物理现象影响脉冲到达时间。相反，如果计时残差与零一致，则软件在计时残差的不确定性范围内准确地考虑了所有物理影响。现在有可能产生计时残差，其均方根计时残差在十年或更长时间内约为 100 纳秒。

脉冲星计时残差使用各种统计检验进行分析

数据集合有多好？

脉冲星计时残差数据集“质量”最常见的衡量标准是均方根 (rms) 残差。由于 ToA 不确定性变化很大，因此通常会显示加权 rms 值。

应该提到 chisq

脉冲星计时软件

以下软件包用于脉冲星计时

• PSRTIME (Jodrell Bank)
• TIMAPR (Bonn)
• ANTIOPE (Nancay)
• CPHAS (Hartebeesthoek)
• TEMPO
• TEMPO2
• PINT