脉冲星和中子星/寻找引力波

简介

爱因斯坦的广义相对论预测了引力波 (GW) 的存在 - 空间和时间结构中的涟漪。这种波确实存在 - 通过观测双脉冲星 PSR B1913+16 (Hulse & Taylor 1975) 得到了证实，但大多数天文学家将其视为 GW 的“间接探测”。使用棒状探测器、航天器跟踪、地面干涉仪以及现在如本文所述的脉冲星，科学家一直在尝试对 GW 进行“直接探测”。

GW 由振幅、频率（或波长）和偏振态来描述。与电磁波不同，GW 的偏振方向为 45 度（参见右侧的动画）。根据广义相对论，GW 以光速传播。

引力波 Plus 偏振

引力波 Cross 偏振

在 1970 年代后期，人们意识到可以使用脉冲星计时观测来寻找超低频 ($f\sim 10^{-9}\rightarrow 10^{-7}{\rm {Hz}}$) GW。数学形式是由 Sazhin (1979) 和 Detweiler (1979) 提出的，他们表明 (Detweiler 1979)

a gravitational wave incident upon either a pulsar or the Earth changes the measured frequency and appears then as a anomalous residual in the pulse arrival time

诱导计时残差的强度将在下面详细介绍。然而，诱导计时残差很小。只有最近使用世界上最大的射电望远镜进行的高精度计时实验，脉冲星天文学家才接近探测到这种波。脉冲星计时最有可能探测到的 GW 源是合并星系中心的超大质量双黑洞。GW 也可能来自宇宙的暴胀时期或宇宙弦。

对单个脉冲星的观测可用于限制 GW 信号的振幅，但由于脉冲星计时残差已经表现出无法解释的特征（例如“计时噪声”），因此无法根据单个脉冲星的计时残差明确识别 GW 信号。 Foster & Backer (1990) 提出了“脉冲星计时阵列”的概念，其中对大量毫秒脉冲星进行计时，并在所有数据集中寻找 GW 证据来进行 GW 搜索。目前，几乎所有主要的脉冲星天文台都进行着脉冲星计时阵列研究。数据作为国际脉冲星计时阵列 (IPTA) 的一部分共享和处理，但迄今为止，尚未发现 GW。

引力波如何导致脉冲星计时残差

GW 将导致观测到的脉冲频率发生偏移，$\delta \nu$，为

${\frac {\delta \nu }{\nu }}=-H^{ij}\left[h_{ij}(t_{e},x_{e}^{i})-h_{ij}(t_{e}-D/c,x_{p}^{i})\right]$

其中 $H^{ij}$ 是一个几何项，它取决于引力波源、地球和脉冲星的位置，$h_{ij}(t,x)$ 是在时间 $t$ 和位置 $x$ 处计算的引力波应变。在地球上当前时间计算的应变被称为“地球项”。在脉冲星发出脉冲时计算的应变被称为“脉冲星项”。显然，对于多个脉冲星，地球项将是相同的，但几何因子和脉冲星项将不同。几何因子在 Hobbs 等人 (2010) 和 Lee 等人 (2011) 中给出。

给定脉冲星的感应计时残差为

$R(t)=-\int _{0}^{t}{\frac {\delta \nu }{\nu }}dt$

Hellings-and-Downs 曲线显示了感应计时残差之间作为脉冲星对之间角度函数的相关性。

假设广义相对论，我们可以用两种偏振态描述引力波，并将地球项写成

$R_{\rm {Earth}}(t)=\int _{0}^{t}{\frac {P_{+}A_{+}(t)+P_{\times }A_{\times }(t)}{2(1-\gamma )}}dt$

其中 $\gamma$ 是引力波-地球-脉冲星角度。对于非演化的引力波源，$A_{+,\times }$ 项由下式给出

$A_{+,\times }=A_{+,\times }e^{i\omega _{g}t}$.

脉冲星项与地球项相同，除了有一个额外的相位。

可能存在许多引力波的背景。因此，我们可以对上述方程进行求和，以覆盖多个单独的引力波源。脉冲星项仍然是不相关的，但对于各向同性、随机、非极化的背景，地球项将导致明确的角相关性。这首先由 Hellings & Downs (1983) 推导出来，通常被称为“Hellings and Downs 曲线”。它由下式给出

$c(\theta )={\frac {3}{2}}x\ln x-{\frac {x}{4}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\delta (x)$

其中 $x=[1-\cos \theta ]/2$ 是两个脉冲星之间天空中角度 $\theta$。这在图中用图形方式显示。

脉冲星计时阵列实验目前正在寻找单个引力波源或引力波背景的信号。

更多术语

用于描述引力波和引力波探测器灵敏度的术语令人困惑。下表提供了一些常用术语

符号	术语	同义词	描述	关系
$h$	均方根应变幅度	$h_{s}$，有效应变幅度	以方向（或等效地，天空位置）为平均值并对极化求和的源的均方根应变幅度
$h_{c}$	特征应变	无量纲应变，应变	每个对数频率的预期应变幅度
$S_{h}$	应变谱密度		对于随机的、各向同性的非极化引力波背景，谱密度足以描述地球上的应变张量	$h_{c}(f)={\sqrt {fS_{h}(f)}}$
$h_{n}$	特征噪声应变		对应于探测器灵敏度的特征应变
$S_{n}$	应变等效噪声谱密度	应变噪声幅度谱密度，等效应变均方根PSD	各种探测器的灵敏度由其噪声的功率谱密度定义	$h_{n}(f)={\sqrt {fS_{h}(f)}}$
$A$	引力波背景幅度		由幂律描述的背景的特征应变可以通过幅度定义，$A$ 和谱指数 $alpha$	$h_{c}(f)=A\left({\frac {f}{f_{\rm {1yr}}}}\right)^{\alpha }$
$\Omega _{GW}$			引力波中每个对数频率间隔的能量密度分数	$\Omega _{g}(f)={\frac {2\pi ^{2}}{3H_{0}^{2}}}f^{3}S_{h}(f)$
$h_{rss}$	每个根赫兹的应变	应变等效噪声，每个根赫兹的根谱密度，均方根应变，应变灵敏度	应变谱密度或应变等效噪声谱密度的平方根，具体取决于上下文	$h_{rss}={\sqrt {S_{h}}}$, $h_{rss}={\sqrt {S_{n}}}$

单一来源

彼得斯 (1964) 分析了两个点质量的 GW 发射，并提供了由 GW 引起的轨道衰减和任何给定系统的寿命的方程。GW 将以轨道频率的两倍发射。对于一个具有分量质量的螺旋式圆形双星系统，$m_{1}$ 和 $m_{2}$，GW 应变幅度由下式给出

$h_{0}=2{\frac {(GM_{c})^{5/3}}{c^{4}}}{\frac {(\pi f)^{2/3}}{d_{L}}}$

其中 $d_{L}$ 是源的亮度距离，而 $M_{c}$ 是啁啾质量。

$M_{c}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}$

可以通过 Jenet 等人 (2009) 的研究结果来估计由双星系统引起的计时残差。

$t\sim 10{\rm {ns}}\left({\frac {1{\rm {Gpc}}}{d}}\right)\left({\frac {M}{10^{9}{\rm {M}}_{\odot }}}\right)^{5/3}\left({\frac {10^{-7}{\rm {Hz}}}{f}}\right)^{1/3}$

其中 $d$ 是到该系统的距离，该系统总质量为 $M/(1+z)$，并以频率 $f$ 发射引力波。

对于以 0.01pc 的分离距离以圆形轨道运行的黑洞，其合并时间将取决于黑洞的质量。如果两个黑洞的质量都为 $10^{10}{\rm {M}}_{\odot }$，那么合并的时间尺度只有大约 3 年。对于这样的系统，在地球上探测到的引力波频率将在典型数据跨度内发生显著变化。对于质量为 $\sim 10^{9}{\rm {M}}_{\odot }$ 的黑洞，时间尺度约为 3000 年。在观测跨度内，在地球上观测到的引力波频率不会发生显著变化，但脉冲星和地球处的信号将具有不同的频率。对于质量为 $10^{8}{\rm {M}}_{\odot }$ 的黑洞，合并时间尺度为 $>10^{6}{\rm {yr}}$，在数据跨度内或在光线传播到脉冲星的时间内不会观察到任何演化。

3C66B

Sudou 等人 (2003) 提出在射电星系 3C 66B 中存在超大质量黑洞双星系统的证据。他们提供了该系统总质量 ($M=5\times 10^{10}{\rm {M}}_{\odot }$)、轨道周期 (~1 年) 和距离 (~85 Mpc) 的估计值。Jenet 等人 (2004) 指出，这样的系统会发射引力波，这些引力波很容易在现有脉冲星的计时残差中探测到（他们考虑了 PSR B1857+09）。由于没有观察到诱导的计时残差，因此 Sudou 等人提出的系统被高置信度排除。这可以说是第一个基于引力波天文学的主要天体物理学结果。

引力波单个源的通用搜索

Lommen & Backer (2001) 曾尝试寻找人马座 A* 的引力波辐射，该天体被认为是一个双星系统，但没有成功。 他们还进行了首次对其他附近星系的引力波搜索。 Yardley 等人 (2010) 利用帕克斯望远镜的数据计算了这些单个引力波源的灵敏度曲线（作为引力波频率的函数）。 Zhu 等人 (2014) 利用更长的帕克斯数据更新了这项工作，并获得了引力波应变振幅的上限

$h_{0}<1.7\times 10^{-14}$ 在 10 纳赫兹。

此上限对超大质量双黑洞的局部合并率密度提出了约束。

PPTA 数据发布 1 数据对单色引力波的灵敏度，以及一些已公布的超大质量黑洞双星候选体的预期引力波应变振幅。 黑线代表全天灵敏度，红线代表最灵敏的天区方向。

爆发

可能探测到的爆发性引力波辐射源包括：1）超大质量黑洞的形成，2）高偏心率的超大质量黑洞双星，3）大质量天体的近距离相遇，以及 4）宇宙弦尖点。

具有记忆的爆发

Seto (2009)，van Haasteren & Levin (2010)，Pshirkov, Baskaran & Postnov (2010)，以及 Pollney & Reisswig (2011) 已经考虑了具有“记忆”的引力波爆发。 这些事件会导致时空度量产生永久性扭曲。 它们可能由超大质量双黑洞合并引起。 引力波记忆事件会导致所有脉冲星的脉冲频率发生阶跃变化。 对于单个脉冲星来说，计时残差将具有类似于故障事件的形式（但符号相反），且不会衰减。 因此，使用脉冲星计时阵列，可以通过搜索阵列中所有脉冲星计时同时发生的故障事件来搜索经过地球的引力波记忆事件。（还可以通过限制单个数据集中的故障事件的大小来限制此类事件的存在；这限制了地球和脉冲星处的引力波记忆事件）。

引力波记忆信号可以建模为阶跃函数

$h_{+}(t)=h^{\rm {mem}}\Theta (t-t_{0}),h_{x}(t)=0$

其中 $t_{0}$ 是引力波记忆信号到达地球观测者的时刻（在 Favata 2009 中讨论了整个信号都在加极化状态下的选择）。 函数 $\Theta (t)$ 是亥维赛德阶跃函数。

Cordes & Jenet (2012) 提供了一种简单的方法来获得信号强度的数量级估计

$h^{\rm {mem}}\sim 5\times 10^{-16}(\mu /10^{8}{\rm {M}}_{\odot })(1{\rm {{Gpc}/D)}}$

其中 $D$ 是到双黑洞系统的距离，而 $\mu$ 是它的约化质量。

Arzoumanian 等人 (2015) 和 Wang 等人 (2015) 已经进行了对具有记忆的爆发的搜索，并由 Madison 等人 (2014) 讨论。 Wang 等人 (2015) 使用帕克斯观测来搜索（和限制）经过地球的引力波记忆事件。 没有探测到任何信号，但正如论文中所示，这并不意外。 他们的论文得出的结论是，在不久的将来不太可能探测到引力波记忆事件。 但是，预测并不确定，因此有必要继续寻找 - 以防万一！

引力波背景

定义

引力波的随机背景可能是宇宙学起源的（例如，来自暴胀、宇宙弦或相变），也可能是天体物理起源的（例如，由合并星系中导致的合并大质量黑洞双星系统引起）。

引力波背景最简单的定义是根据其能量密度与对数频率的比值。

$E_{\rm {GW}}={\frac {d\rho _{\rm {GW}}}{d\log f}}=f{\frac {d\rho _{\rm {GW}}}{df}},$

作为宇宙临界能量密度的分数。

$\rho _{c}=3H_{0}^{2}c^{2}/(8\pi G).$

这里，$G$ 是牛顿万有引力常数，$f$ 是在地球上接收到的引力波频率，$H_{0}=h\times (100)$km s$^{-1}{\rm {Mpc}}^{-1}$ 是哈勃常数。这个“小$h$”有时写成$h_{\rm {100}}$ 或者 $h_{0}$。引力波能量密度的分数，$\Omega _{\rm {GW}}$，那么是

$\Omega _{\rm {GW}}={\frac {8\pi G}{3H_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {d\rho _{\rm {GW}}}{d\log f}}.$

由于 PTA 测量有效地约束了 $E_{\rm {GW}}$ 而不是 $\Omega _{\rm {GW}}$，因此对 $\Omega _{\rm {GW}}$ 的约束可以写成 $\Omega _{\rm {GW}}h^{2}$ 的形式，它与 $H_{0}$ 的确切（不确定）值无关。

引力波背景的另一个有用定义是特征应变幅度，它是对数频率区间内的平均值

$h_{c}(f)={\sqrt {fS_{h}(f)}}.$

通常定义

$h_{c}(f)=A\left({\frac {f}{f_{1{\rm {yr}}}}}\right)^{\alpha }$

其中 $f_{1{\rm {yr}}}=1/(1{\rm {yr}})$。对于可能由合并黑洞双星、宇宙弦和遗迹引力波引起的引力波背景，频谱指数 $\alpha =-2/3$，$-1$ 和 $-7/6$ 分别为。这给了

$\Omega _{\rm {GW}}(f)={\frac {2}{3}}{\frac {\pi ^{2}}{H_{0}^{2}}}A^{2}f^{2\alpha +2}f_{1yr}^{-2\alpha }.$

大多数早期的限制假设 $\alpha =-1$，这意味着 $\Omega _{GW}$ 具有平坦的频谱。最近的限制考虑了更广泛的 $\alpha$ 值。

超大质量双黑洞背景

星系形成和演化的标准模型基于分层星系形成模型。在这个模型中，黑洞存在于星系的中心。星系合并，黑洞并合。 Burke-Spolaor (2011) 回顾了描述星系对如何首先成为重力束缚，然后大质量黑洞如何通过动力摩擦变得集中的文献。对于足够接近的系统，引力波最终将成为能量损失的主要机制，并最终导致两个黑洞的合并。来自大量此类合并系统的引力波形成了脉冲星天文学家正在寻找的引力波背景。

尽管已经存在大量关于单个超大质量双黑洞和合并星系的观测证据，但没有直接证据表明存在足够靠近以发射强烈引力波的超大质量双黑洞系统。Rodriguez 等人（2006 年）在射电星系 0402+379 (4C+37.11) 中发现了一个系统，该系统假设的黑洞位置之间的预计间距仅为 7.3 秒差距。然而，这仍然太宽，无法发射可探测的引力波。

缺乏已知的发射引力波的双黑洞系统并不令人意外。标准的调查技术无法提供足够的解析度来探测遥远星系中心附近的秒差距尺度，并且没有已知的可识别电磁辐射信号可以导致对黑洞系统的明确探测。因此，有必要通过尝试对黑洞特性及其合并率进行建模来预测引力波背景信号。

引力波背景建模

许多论文都致力于通过计算不同质量的超大质量双黑洞在不同红移时的合并率来预测引力波背景信号（例如，Rajagopal & Romani 1995; Jaffe & Backer 2003; Wyithe & Loeb 2003, Enoki 等人 2004, Sesana 等人 2008, Sesana & Vecchio 2010, Ravi 等人 2012, Sesana 2013, Ravi 等人 2014, Ravi 等人 2015）。这些论文中的大多数假设黑洞处于圆形轨道，并且纯粹由引力波发射演化。

对引力波背景进行约束

迄今为止对背景的最严格限制由 Shannon 等人 (2015) 发布。他们对 A 的上限为

$A<10^{-15}$，置信度为 95%。

先前对这种背景的限制是

参考	限制
Shannon 等人 (2015)	$10^{-15}$（置信度为 95%）
Lentati 等人 (2015)	$3\times 10^{-15}$（置信度为 95%）
Shannon 等人 (2013)	$2.4\times 10^{-15}$（置信度为 95%）
Demorest 等人 (2013)	$7\times 10^{-15}$（置信度为 95%）
Jenet 等人 (2006)	$11\times 10^{-15}$

探测引力波背景

Jenet 等人 (2005) 提供了一种探测引力波随机背景的方法。这项工作表明，对 40 个脉冲星进行定期计时观测，每个脉冲星的计时精度为 100 纳秒，将能够在 5 年内直接探测到预测的黑洞合并产生的随机背景。使用改进的预白化算法，或者如果背景处于预测范围的上限，则仅使用 20 个脉冲星即可实现显著的探测。

计时阵列

大多数能够观测脉冲星的大型射电望远镜目前都是脉冲星计时阵列 (PTA) 项目的一部分。2004 年，帕克斯脉冲星计时阵列 (PPTA) 开始观测足够多的脉冲星，并具有足够的灵敏度来尝试探测引力波。北美 PTA (NANOGrav) 和欧洲等效物 (EPTA) 紧随其后。目前存在以下主要的 PTA

• 欧洲脉冲星计时阵列 (EPTA; Janssen 等人 2008)：结合了来自五个欧洲望远镜的数据（埃费尔斯贝格、乔德雷尔班克、南希、韦斯特伯克和撒丁岛）。
• 帕克斯脉冲星计时阵列 (PPTA; Manchester 等人 2013) 使用来自帕克斯射电望远镜的观测结果
• NANOGrav (Jenet 等人 2009) 使用阿雷西博和绿岸望远镜进行观测。

这三个 PTA 在国际脉冲星计时阵列 (IPTA) 项目的 auspices 下共享数据和资源。IPTA 项目的详细信息见 Manchester 等人 (2013) 和 Hobbs 等人 (2010)。

常见问题解答

引力波与重力波

为简单起见，我们经常谈论“重力波”。然而，重力波是在流体中产生的波，当重力的作用力试图恢复平衡时。这些与这里讨论的“引力波”不同。