脉冲星和中子星/脉冲星研究的统计和分析方法

简介

脉冲星搜索和计时需要对时间序列数据进行分析。在本节中，我们将介绍常用的方程、算法、数值方法、方法和例程。

我们假设我们有一个包含 $N$ 个样本的时间序列。每个样本 $j$ 都具有时间 $t_{j}$ 及其值 $y_{j}$ 。值的平均值（注意，我们从零开始元素计数器）

${\bar {y_{j}}}={\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}y_{j}$

标准差表示数据集中的变化量。

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}$

这也可以使用以下方法计算

$\sigma ={\sqrt {\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}y_{i}\right)^{2}}}$

χ² 分布由自由度数量 k 定义。该分布的均值为 k，方差为 2k。对于功率谱估计，每个点的分布由具有 2 个自由度的 χ² 分布给出（对应于速率参数为 λ=0.5 的指数分布）。

$p(x) = 1/2 * e^(-x/2)。$

该分布的均值为 2，方差为 4。通常将分布归一化，使均值为 1。归一化 χ²(2) 的 p(x) = e^(-x)，其均值为 1，方差为 1。95% 的置信区间为 0.025 和 3.67。

对于 N 个数据点的正则采样时间序列值 yj，离散傅立叶变换 (DFT) 为

$Fk = Σ(j=0 to N-1) yj * exp(-2π\sqrt(-1)jk/N)$

（注意，这是 fftw 库正向变换中使用的定义）。注意，Fk 值是复数

$Fk = Rk + iIk。$

注意，对于脉冲星搜索，通常将所有傅立叶系数 Fk 归一化为因子（参见 Ransom 等人 2012）

$γ = (N * yj²)^1/2$