谜题/物理谜题/埃利亚学派/阿喀琉斯评论

解决方案 A

这个问题的一个传统答案是，事实上，我们只关注了固定的时间范围。为了理解这一点，让我们假设乌龟以单位速度前进，阿喀琉斯以速度 x 前进，从乌龟后面 y 个单位距离开始（例如，在点 0）。那么，阿喀琉斯需要 ${\frac {y}{x}}$ 个时间单位（例如秒）才能到达乌龟的起点。在此期间，乌龟已经前进到 $y+{\frac {y}{x}}$ 点，现在比阿喀琉斯领先 ${\frac {y}{x}}$ 个单位距离。由于 x > 1，距离已经缩短了。为了到达乌龟的第二个点，阿喀琉斯需要 ${\frac {y/x}{x}}={\frac {y}{x^{2}}}$ 的时间。根据归纳法，我们有，阿喀琉斯需要 $y\sum _{i=1}^{n}{x^{-i}}$ 的时间才能到达乌龟在第 $n$ 次前进后到达的点。

当 $n\to \infty$ 时，此表达式收敛于 ${\frac {y}{1-{\frac {1}{x}}}}=:T$，这显然是有限的。因此，在整个比赛过程中，我们没有考虑大于或等于 $T$ 的时间点。事实上，在 $T$ 时，阿喀琉斯已经追上了乌龟，并且将在之后的任意微小时间内超过它。

但是，整个论证假设时间是连续的。反过来，这是真的吗？

所有这些问题都存在缺陷，因为它们在每个“步骤”中都减慢了时间，如果你把时间减慢到足够慢，很明显你什么也做不了。如果你在直线 A 和 B 之间移动，并在每次减半距离时进行时间测量，那么就会有无限次测量，每次测量都越来越快。这并不意味着阿喀琉斯不会追上乌龟，这只意味着在追上之前，他们进行了无限多次测量。