炉边的毕达哥拉斯

丹尼尔·梅斯纳（* 1585; † 1625）在 1626 年出版的《政治哲学宝库》（Thesaurus philopoliticus）中，由埃伯哈德·基泽（Eberhard Kieser）创作的铜版画《杜恩基尔肯》（Duynkirchen）。
左边是拿着角尺的毕达哥拉斯，右边是三个拿着锤子的铁匠，在铁砧上放着五根棍子，上面写着“Guido”。

图片上的拉丁文和德文文本内容相同，如下所示：

*Triplicibus percussa sonat varie ictibus incus.*
*Musica Pythagoras struit hinc fundamina princ(eps)*.

*Der Amboß von drey Hämmern klingt, darauß dreyerley thon entspringt.*
*Pythagoras hie die Music findt, das hett kein Eselskopff gekönt.*

英文
*铁砧被三个锤子敲击，发出三种不同的声音。*
*毕达哥拉斯在这里发现了音乐，这是驴头做不到的。*

本文阐述了炉边的毕达哥拉斯传说的物理和音乐理论背景，并证明了这个传说可能具有现实基础。它基于 2012 年的一篇早期出版物，^[1]以及相应的德语维基教科书，该书已使用 www.DeepL.com/Translator（免费版本）广泛翻译。

前言

声音和数字之间的关系不仅在古代被研究。在中世纪，音乐与算术和几何学一起，属于四艺中的四门学科。这些学科至今仍然为音乐理论的思考和研究提供了有意义的领域，这与如今仍在使用的各种声调体系以及例如音乐审美方面或音调理论有关。作者希望这些关于古代传说的评论能够有助于唤醒或巩固人们对该主题的兴趣。

音乐的发明

萨摩斯的毕达哥拉斯（* 约公元前 570 年；† 公元前 510 年后）据传说，通过他访问一座熔炉而发明了音乐。这并不意味着在此之前没有音乐，而是说他被认为是第一个通过将自然数 6、8、9 和 12 的比例分配给纯音乐音程（纯一度、纯四度、纯五度和纯八度）而为音乐奠定理论基础的人。

四个整数 6、8、9 和 12 以及它们与纯音乐音程（纯一度、纯四度、纯五度和纯八度）的关系。

下表显示了这四种音调的频率比率，示例频率分别为 1200、1600、1800 和 2400 赫兹。

音程	纯一度	纯四度	纯五度	纯八度
$f$	$f_{6}$	$f_{8}$	$f_{9}$	$f_{12}$
$f$	1200 Hz	1600 Hz	1800 Hz	2400 Hz
${\frac {f}{f_{6}}}$	${\frac {1}{1}}$	${\frac {4}{3}}$	${\frac {3}{2}}$	${\frac {2}{1}}$
${\frac {f}{f_{8}}}$	${\frac {3}{4}}$	${\frac {1}{1}}$	${\frac {9}{8}}$	${\frac {3}{2}}$
${\frac {f}{f_{9}}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {8}{9}}$	${\frac {1}{1}}$	${\frac {4}{3}}$
${\frac {f}{f_{12}}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {3}{4}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{1}}$

使用高音谱号表示的四个毕达哥拉斯音阶 c', f', g' 和 c" 的示例。

四个毕达哥拉斯音阶 c', f', g' 和 c" 在纯毕达哥拉斯音调中的声音示例，以及所有 15 种组合。

变体 A。

变体 B。

成对地，四个毕达哥拉斯音阶可以产生总共四个不同的低频组合音，这些组合音来自所考虑的两个音调的频率之差。关于四个毕达哥拉斯音阶中的每一个，组合音都具有它们频率的一半、三分之一、四分之一或六分之一的整数倍。对于上表中给出的示例频率，频率为 200、400、600 和 800 赫兹的四个组合音因此产生。由于比率非常合理，所有组合音也与四个毕达哥拉斯音阶谐波一致。

下表显示了四个毕达哥拉斯音阶 c', f', g' 和 c"，以及它们音调频率的振动数，这些频率对应于以 440 赫兹为基准的 A。

音调名称	音调频率 $f$ （以赫兹为单位）	频率比率与第一个音阶 c 相比
c'	261,6	${\frac {1}{1}}$
f'	349,2	${\frac {4}{3}}$
g'	392,0	${\frac {3}{2}}$
c"	523,3	${\frac {2}{1}}$

古代传统

不幸的是，毕达哥拉斯的任何著作都不存在（他可能根本没有留下任何著作），最古老的资料都来自他去世后的几个世纪。格拉萨的尼科马库斯记录了毕达哥拉斯的发现，至少在他去世后 600 年。

但这些记录也没有保存下来，因此我们不得不求助于晚期拉丁文著作《音乐入门》，作者是波伊提乌斯，该著作是在毕达哥拉斯之后大约 1000 年写成的，并且据推测也参考了尼科马库斯等人的著作。无论如何，在《音乐入门》的第十章中描述了“毕达哥拉斯是如何研究和谐声音之间的关系的”。^[2]

根据毕达哥拉斯在铁匠铺的传说，他“出于神圣的提示”经过一家工坊，注意到五个不同的锤击声所产生的单个音调的和谐。因为他怀疑单个音调是由锤击的类型和力度造成的，所以他让工匠们改变了工具。他注意到单个音调不是与工匠有关，而是与工具有关，并且那些一起共振的工具彼此之间有着一定的整数重量关系。

根据《音乐入门》的第十一章，他随后会在改变琴弦的张力砝码时研究这些关系，最终也会在单弦琴上进行研究，还会研究琴弦的不同长度和厚度。^[3]

中世纪传统

500 年后，即毕达哥拉斯作品诞生 1500 年后，中世纪音乐理论家和本笃会修士圭多·达雷佐（* 约 992；† 1050）在他的《微日志》中，同样也用拉丁文提到了波伊提乌斯。在第二十章中，圭多提到了“音乐是如何从锤子声中发明的”。^[4]

关于毕达哥拉斯传说的这一传统提到，他经过一家铁匠铺，据说那里是用五个锤子在铁砧上进行锻造的。然而，在波伊提乌斯的早期传统中，并没有提到铁匠挥舞锤子或铁砧。

矛盾

对流传下来的事实进行物理分析，发现了一些矛盾之处。

{\displaystyle l} — 长度为 $l$ 的杆，横截面积为 $A$ 。

为此，我们考虑一个理想化的锤头，它是一个长方体杆，其最大长度为 $l$ 。其体积 $V$ 加上其横截面积 $A$ 导致

V=l\cdot A

质量 $m$ 的密度为 $\rho$

m=V\cdot \rho =l\cdot A\cdot \rho

锤头的重力 $F$ 可以直接根据质量 $m$ 和重力加速度的比例常数 $g=9.8{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 计算出来。

F=m\cdot g=l\cdot A\cdot \rho \cdot g

由相同材料制成的锤头的固有频率或音调 $f$ 通常与其重量 $F$ 成反比，而是主要取决于其精确的几何形状。身体的几何延伸越长，该方向或相关纵向振动模式的固有频率越低。因此，最低的声频与锤头的最大长度 $l$ 相关。

然而，锤头的固有频率 $f$ 在实践中根本无法听到，因为它处于过高的频率范围。钢中的声速 $v$ 约为 5000 米/秒，典型锻造锤头长度 $l$ 为 10 到 16 厘米， $f={\frac {v}{2\cdot l}}$ 导致固有频率在 15 到 25 千赫之间，与音调无关，无法感知。

最后，需要注意的是，长度为 $l$ 的一根弦的拉伸重量 $F$ 与弦振动的频率 $f$ 或音高既不成正比，也不成反比。相反，它与拉伸重量 $F$ 的平方根成正比。此外，音高与长度 $l$ 和弦的厚度 $D$ 成反比。

f\propto {\frac {\sqrt {F}}{l\cdot D}}

尝试解释

如果考虑或考虑到以下事实，这些矛盾可以消除

毕达哥拉斯可能目睹过，甚至参与过他家乡萨摩斯岛上长达 1000 多米的 **尤帕利诺斯隧道** 的复杂而精细的建造。
在毕达哥拉斯的一生中，萨摩斯岛的 **赫拉神庙** 用石灰石和大理石建造。
拉丁语单词 **faber** 不必翻译成 *铁匠*，也可以翻译成 *工匠*。
当时，**石头加工** 的作坊和工匠肯定比金属加工多。
拉丁语单词 **fabrica** 表示作坊，而不是铁匠铺。
同时有 **至少四名工匠** 用不同尺寸的锤子锻造的作坊可能很少见。
对于 **凿子** 来说，音高 $f$ 在可以清楚听到的范围内。
对于 **凿子** 来说，纵向振动的音高 $f$ 与它们的长度 $l$ 成反比。
对于横截面积相同的 **凿子** $A$ 来说，音高 $f$ 因此也与它们的长度 $l$ 、体积 $V$ 、质量 $m$ 和重量 $F$ 成反比。
振动 **弦** 的音高 $f$ 与它的长度 $l$ 成反比。
振动弦的音调 $f$ 与其厚度 $D$ 成反比。

以下声音示例展示了五根不同长度的金属棒或凿子的音调，它们在纵向轴上受到机械激发时会发出声音，例如用锤子敲击。这些金属棒的横截面积相同，长度、自然频率和音调之比为 12:9: ${\sqrt {72}}$ :8:6。

四把毕达哥拉斯凿子，它们的长度、质量和自然频率之比为 12:9:8:6。

五根不同长度的金属棒的音调

12 个长度单位的基本音调。

9 个长度单位的四度音。

8 个长度单位的五度音。

6 个长度单位的八度音。

三全音（正好是八度音的一半），长度为 ${\sqrt {72}}\approx$ 8.485 个长度单位。上图中没有展示对应的凿子，它的长度介于 8 个长度单位和 9 个长度单位的两个凿子之间。

具有整数长度单位的金属棒在所有组合中都能产生和谐的声音，而具有 ${\sqrt {72}}$ 非理性长度比的金属棒，其声音与其他所有声音都产生不和谐。

在一些相应的和合理的假设下，一个可能发生在毕达哥拉斯时代的场景出现了，并且没有与物理定律产生任何矛盾。

如果博伊修斯传统中的事件发生在石匠的作坊中，并且没有提到熔炉或铁砧，并且在工具的命名方面存在错误，即不仅是指锤子，还包括横截面相同但长度不同的凿子集合和锤子，那么声音和音调将是清晰可闻的，并且是由锤击产生的，但归因于凿子。在这个假设下，音调的整数比将与凿子的长度或重量的整数比相同，并且完全独立于工匠和使用的锤子。

在用单弦琴进行实验时，毕达哥拉斯会发现，在弦的张力和质地恒定的情况下，弦长和音调之间的关系与弦的厚度和音调之间的关系以及凿子的长度或重量和音调之间的关系完全相同。一根长度相同但厚度是两倍的弦或一根长度相同但厚度是两倍的弦，其音调比具有相同厚度或长度的弦低一个八度。

在这里观察到的两个自然数 2 和 3 的乘积的比率对应于八度音、五度音、四度音和纯音的和声音程。相对于任何基本音调，这四个毕达哥拉斯音调产生一个所谓的四音音阶。

对这些比率的进一步研究最终产生了七个音调的七声音阶：A - B - C - D - E - F - G。这个七声音阶构成了希腊人古代完全音阶的基础，该音阶是在毕达哥拉斯之后几个世纪发展起来的，也构成了博伊修斯之后几个世纪发展起来的四种主要的教会调式普罗图斯、德特鲁斯、特里图斯和特特拉杜斯的基础。

古代对弦的张力重量的调查可能是进行过的，但它们既不充分也不必要。如果弦的张力加倍，则结果是频率增加 $\sqrt {2}$ 倍（≈ 1.4142），这对应于通常被认为是失谐的三全音音程。然而，毕达哥拉斯学派以及早期的巴比伦人也都知道这个无理数。

作品

在和声理论中，四个毕达哥拉斯音调非常重要，因为它们构成了最常用的终止式之一的框架，该终止式由主音、下属音、属音和主音组成。以下示例展示了 C 大调 - F 大调 - G 大调 - C 大调的终止式，四个和弦的根音分别位于低音部。

四个毕达哥拉斯音符 c - f - g - c' 以蓝色表示。
C 大调终止式的听觉示例。

例如，这四个毕达哥拉斯音符是罗伯特·舒曼（* 1810；† 1856）于 1833 年创作的以克拉拉·维克为主题的钢琴作品《即兴曲》（作品编号 5）的中心主题。

格里高利圣咏

格里高利圣咏旋律的第一个转录是用无音阶记号谱写的，其中可以记录下一个音的音调方向：向上、与上一个音调相同或向下，以及音调的大致持续时间。直到 11 世纪，古伊多·达雷佐引入了带有音阶记号的线谱，才有可能精确地记谱七声音阶旋律的音程。在中世纪的不同传统中，对礼仪拉丁文的文本，旋律的进行略有不同。C 调和 F 调的谱号已经开始使用，但还没有音高标准，因此尽管七声音阶的七个音调有名称，但绝对音高仍然不确定。

我将我的灵魂仰望你

格里高利圣咏的应答诗《我将我的灵魂仰望你》作为入祭曲在降临节第一个主日演唱。这首旋律以第八调（特特拉杜斯·普拉加利斯）演唱，终音（最后音调）为 G，并以文本“我将我的灵魂仰望你，主”开始。新拉丁文本的第一个三个诗句，以及相应的希伯来字母 Aleph、Beth 和 Ghimel，如下所示：

诗篇 25 (24),1-3A^[5]

1 Aleph. 我将我的灵魂仰望你，主，

2A Beth. 我的上帝，我信靠你；我不会蒙羞。

2B 我的敌人不要因我欢欣，

3A Ghimel. 因为凡是依靠你的，必不蒙羞。

第一节的文本再次出现在诗篇 143（新拉丁文本）中

诗篇 143 (142),8^[6]

求你清晨将你的慈悲恩典，让我听见，因为我将我的盼望寄托在你。

求你指示我该走的路，因为我将我的灵魂仰望你。

根据《新圣咏经》恢复的旋律包含第一节中的 20 个音符，其中 14 个属于毕达哥拉斯四音音阶 c - f - g - c'，其余 6 个可以被认为是装饰音或经过音。旋律部分以 F 音结束，回声（持续音或旋律音）是 C 音。

降临节第一个主日，根据《新圣咏经》记谱的应答诗《我将我的灵魂仰望你》的开头，以 C 调谱号以方格记谱法记谱。四个毕达哥拉斯音调 c - f - g - c' 以蓝色表示。
降临节第一个主日，根据《新圣咏经》记谱的入祭曲《我将我的灵魂仰望你》开头的音频示例。

下表列出了根据《新圣咏经》版本，入祭曲诗篇 25 的四个部分的毕达哥拉斯音调的频率。

诗句	终音	编号 c	编号 f	编号 g	编号 c'	毕达哥拉斯音调之和	编号其他音调	之和所有音调	之和音调之和
1	f	1	3	8	2	14	6	20	70,0%
2A	g	0	4	8	10	22	10	32	68,8%
2B	f	0	2	4	11	17	12	29	58,6%
3A	g	0	2	13	3	18	17	35	51,4%

在所有四个部分中，四个毕达哥拉斯音调占主导地位，甚至在前两个部分中非常明显。这种巧合相当引人注目，似乎这位匿名的中世纪作曲家想通过基督教教会年中格里高利圣咏曲目的第一个作品，来向我们指出音乐理论的毕达哥拉斯起源以及古代和格里高利调式的体系。

突然发生

格里高利圣咏中另一个例子是五旬节主日圣餐经 Factus est repente de caelo sonus（突然从天上发出声音）^[7]，以第七调（Tetrardus authenticus）演唱，音调为 D，终音为 G。歌词描绘了五旬节圣灵降临基督教社区，以火舌降下，使信徒们说方言的事件。除开头三个音符的强重音组纽姆（porrectus flexus）包含两个最高音符 f' 和一个比其低半音的过渡音符 e' 外，第一节诗歌的旋律元素仅由毕达哥拉斯音阶 g – c' – d 组成。

根据罗马公祷书，五旬节主日 *Factus est repente* 反覆歌的开头，用方格记谱法记谱，并使用 C 谱号。毕达哥拉斯音阶 g - c' - d' 以蓝色表示。
五旬节主日圣餐经 *Factus est repente* 开头音频样本，根据罗马公祷书。

巴洛克晚期

17 世纪末有两部作品明确提及了这个传说，这两部作品均由意大利作曲家让-巴蒂斯特·吕利（* 1632；† 1687）的学生创作。

锤击声是在 1690 年由法德籍管风琴演奏家兼作曲家格奥尔格·穆法特（* 1653；† 1704）引入的，他在 C 大调的管风琴作品 Nova Cyclopeias Harmonica 中使用了 3/4 拍子的音调。这首作品以一首由两段 16 小节组成的咏叹调开头。其他部分则包括八个 21 小节的变奏，以主题 Ad Malleorum Ictus Allusio（模仿锤击声）作为主题，并以圣歌 Summo Deo Gloria 结尾。各段作品均以基本音符 c-f-g-c' 构建，并以各种方式演奏和编配和声。在咏叹调的最后四个小节和变奏的最后七个小节中，每个拍子至少可以听到其中一个毕达哥拉斯音阶。

1692 年，德国小提琴家、作曲家兼宫廷指挥鲁珀特·伊格纳茨·迈尔（* 1646；† 1712）出版了献给巴伐利亚选帝侯马克西米利安二世的七首管弦乐组曲

毕达哥拉斯铁匠之音

由各种咏叹调 / 小奏鸣曲 / 序曲 / 阿勒曼德 / 库朗特 / 加沃特 / 萨拉班德 / 吉格 / 小步舞曲 / 等组成。

由四种乐器演奏，并附有总谱低音，适用于宴会音乐 / 喜剧 / serenades / 以及其他欢乐聚会。

七首单小提琴组曲的主调分别为 F 大调、D 大调、G 大调、D 小调、F 大调、D 大调和降 B 大调。

巴洛克晚期

德国作曲家约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（* 1685；† 1750）在 1741 年创作了一部伟大的作品，即《戈德堡变奏曲》，这部作品与格奥尔格·穆法特在 50 多年前创作的 Nova Cyclopeoas Harmonica 一样，由两段咏叹调和变奏组成。这两段咏叹调有很多相似之处。

约翰·塞巴斯蒂安·巴赫在年轻时就为管风琴创作了一部同样杰出的作品，即《C 小调帕萨卡利亚和赋格》（巴赫作品目录 582）。帕萨卡利亚的八小节主题包含 15 个音符，其中 10 个音符对应毕达哥拉斯音阶。

约翰·塞巴斯蒂安·巴赫的《C 小调帕萨卡利亚》（BWV 582）的主题，其中毕达哥拉斯音阶以蓝色表示。
约翰·塞巴斯蒂安·巴赫的《C 小调帕萨卡利亚》（BWV 582）的主题。

总结

关于毕达哥拉斯在铁匠铺的传说可能是基于真实事件。无论这里描述的规律是否真的在古代被研究和发现，中世纪和近代的传统中显然存在着一些不准确之处。

此外，还有一些与历史不符的添加内容被加入了这个流传下来的传说，但这些内容对于解释波伊提乌斯的传统并不需要进一步考虑。然而，传统中的不准确以及与实际做法不符的添加和更改无疑导致了许多作者将关于毕达哥拉斯研究的最古老的报道归为传说——但根据上述解释，这可能很不公正。

德国理论物理学家维尔纳·海森堡（* 1901；† 1976）在其 1937 年的文章《古代自然哲学思想在现代物理学中的体现》中写道

现代原子概念和今天作为原子论图像的数学形式的抽象性，已经将我们引向了现代精确自然科学从古代借鉴的第二个基本思想：数学结构的赋义能力。
自牛顿以来，自然科学就在动态定律的数学结构中，即描述该定律的方程中，寻找毕达哥拉斯学派认为存在于恒星轨道上的和谐。
这种自然观取得的成功，部分导致了对自然力量的真正掌控，从而决定性地干预了人类的发展，证明了毕达哥拉斯学派的信念是正确的，而且程度是不可预见的。
这种转变意味着对毕达哥拉斯学派纲领的始终如一的实施，因为无限多样的自然现象在其数学图像中得到了忠实的体现，即无限数量的方程解，例如牛顿的力学微分方程。

献辞

主要作者感谢他的老师洛伦兹·魏因里希（*1929）。他凭借其对中世纪和格里高利圣咏的精深了解，将主要作者引入了中世纪教会音乐的世界。

参考文献

↑ 马库斯·鲍茨奇：关于格里高利圣咏调式的毕达哥拉斯根源，柏林-兰克维茨 Mater Dolorosa，2012 年 3 月
↑ X. 毕达哥拉斯如何研究和声的比例，出自：De institutione musica : 关于音乐教育，波伊提乌斯著，根据戈特弗里德·弗里德莱因的版本，莱比锡，特奥布纳，1867 年；由汉斯·齐默尔曼译为德语，格尔利茨，2009 年
↑ XI. 毕达哥拉斯如何测量和声的不同比例。，出自：De institutione musica : 关于音乐教育，波伊提乌斯著，根据戈特弗里德·弗里德莱因的版本，莱比锡，特奥布纳，1867 年；由汉斯·齐默尔曼译为德语，格尔利茨，2009 年
↑ 第二十章：音乐是如何从锤子的声音中诞生的，出自：Micrologus Guidonis de disciplina artis musicae / Guido 关于音乐艺术规则的简要论述，由迈克尔·赫尔姆斯多夫译为德语，特里尔，1876 年
↑ 诗篇 25（新拉丁文本）
↑ 诗篇 143（新拉丁文本）
↑ 参见使徒行传第二章，统一译本，2016 年

项目摘要

目标受众： 音乐家、历史学家、自然科学家
学习目标： 基于古代传说的整数-有理数关系。
书籍赞助/联系人： User:Bautsch
目前是否需要合著者？ 是的，非常需要。直接在文本中更正明显的错误；内容请通过讨论进行。
合著者指南： 维基百科式的。

[1] 马库斯·鲍茨奇：关于格里高利圣咏调式的毕达哥拉斯根源，柏林-兰克维茨 Mater Dolorosa，2012 年 3 月

[2] X. 毕达哥拉斯如何研究和声的比例，出自：De institutione musica : 关于音乐教育，波伊提乌斯著，根据戈特弗里德·弗里德莱因的版本，莱比锡，特奥布纳，1867 年；由汉斯·齐默尔曼译为德语，格尔利茨，2009 年

[3] XI. 毕达哥拉斯如何测量和声的不同比例。，出自：De institutione musica : 关于音乐教育，波伊提乌斯著，根据戈特弗里德·弗里德莱因的版本，莱比锡，特奥布纳，1867 年；由汉斯·齐默尔曼译为德语，格尔利茨，2009 年

[4] 第二十章：音乐是如何从锤子的声音中诞生的，出自：Micrologus Guidonis de disciplina artis musicae / Guido 关于音乐艺术规则的简要论述，由迈克尔·赫尔姆斯多夫译为德语，特里尔，1876 年

[5] 诗篇 25（新拉丁文本）

[6] 诗篇 143（新拉丁文本）

[7] 参见使徒行传第二章，统一译本，2016 年

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