量子化学/示例 10

问题

使用普朗克辐射定律，求出最大强度为 504 nm 的电磁辐射发射的恒星的表面温度。以开尔文为单位给出你的答案。

获取正确的函数

黑体材料的定义是能够吸收照射到它身上的所有辐射。^[1] 当黑体处于恒定温度时，可以假设其发射频率分布与其温度之间仅存在直接关系来确定其发射频率分布。^[1] 此外，电磁（EM）辐射的频率也可以用波数的单位来衡量 ${\text{cm}}^{-1}$.

${\begin{aligned}\rho (\nu ,T)&={\frac {2h\nu ^{2}}{c^{2}}}\left\langle E(\nu ,T)\right\rangle &&\rho (\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}\left\langle E(\nu ,T)\right\rangle \end{aligned}}$

普朗克定义 ${\textstyle \langle E(v,T)\rangle }$ 的方法是推导出基于玻尔兹曼分布的闭合形式的谐振子。^[2][3] 现在，普朗克定律的最终形式可以应用于这个问题，因为所有参数都已知，除了待求参数。下图显示了 EM 辐射强度的分布（即曲线面积）相对于频率（以赫兹；Hz 为单位）和温度（以开尔文；K 为单位）。 $${\begin{aligned}d\rho (v,T)&=\rho (\nu ,T)d\nu {\text{, where }}\rho (\nu ,T)=\left({\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\right)\left[\exp \left({\frac {h\nu }{k_{B}T}}\right)\right]^{-1}\\&{\text{Note that }}\left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|={\frac {c}{\lambda ^{2}}}\\d\rho (\lambda ,T)&=\rho (\lambda ,T)d\lambda {\text{, where }}\rho (\lambda ,T)=\left({\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}\right)\left[\exp \left({\frac {hc}{k_{B}T\lambda }}\right)\right]^{-1}\end{aligned}}$$普朗克黑体辐射定律预测了当环境处于极端条件时其定量性质（如频率、波长和温度）的行为。^[3]

普朗克黑体辐射定律 $\rho (\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}\times {\frac {1}{\left[\exp({\frac {hc}{k_{B}\lambda T}})\right]-1}}$

求解温度

任何函数的自变量的最大值可以通过将函数的导数设为零来找到。只有$T$是未知的，并且相对于自变量$\lambda$。因此，普朗克定律将相对于$\lambda$进行推导。

首先，为了简便，令${\textstyle x={\frac {hc}{k_{B}\lambda T}}}$。

${d\rho \over d\lambda }=(2hc^{2})\left[{\frac {x}{\lambda ^{6}}}{\frac {e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}-{\frac {5}{\lambda ^{6}\left(e^{x}-1\right)}}\right]=0$

第一项只包含非零常数，因此留下

${\frac {x}{\lambda ^{6}}}{\frac {e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}-{\frac {5}{\lambda ^{6}\left(e^{x}-1\right)}}=0$

${\begin{aligned}{\frac {x}{\lambda ^{6}}}{\frac {e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}&={\frac {5}{\lambda ^{6}\left(e^{x}-1\right)}}\\{\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}&=5\\{\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5&=0\\(x-5)e^{x}+5&=0\end{aligned}}$

将${\textstyle x={\frac {hc}{k_{B}\lambda T}}}$代入得到

${\begin{aligned}\left({\frac {hc}{k_{B}\lambda T}}-5\right)e^{x}&=0&&\rightarrow &&&{\frac {hc}{k_{B}\lambda T}}-5=0\end{aligned}}$

在最大强度下，${\textstyle \lambda _{max}=504{\text{nm}}}$。将所有已知值和常数（以 SI 单位表示）代入，然后重新排列以求解 T 将确定太阳在这些特定条件下的表面温度。

已知值

变量	值	单位
$h$	$6.62607\times 10^{-34}$	$m^{2}kg \over s$
$\lambda _{max}$	$504\times 10^{-9}$	$m$
$k_{B}$	$1.38065\times 10^{-23}$	${\frac {m^{2}kg}{s^{2}K}}$
$c$	$2.99792\times 10^{8}$	$m \over s$

${\begin{aligned}T={\frac {hc}{5k_{B}\lambda _{max}}}={\frac {(6.62607\times 10^{-34})(2.99792\times 10^{8})}{5(1.38065\times 10^{-23})(504\times 10^{-9})}}=5709.432~{\text{K}}=5710~{\text{K}}\end{aligned}}$

因此，最大黑体辐射发射波长为 504 纳米的恒星表面温度略高于 5709 开尔文。