量子化学/示例 11

示例 11

使用一维盒模型估计激发乙烯中电子从 π 到 π* 分子轨道的所需光波长。

解决方案

具有特定量子数 $n$ 的一维盒中的粒子能级如下所示。

$E_{n}={\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}$

在这个方程中，$h$ 代表普朗克常数，$m$ 是粒子的质量，而 $L$ 是盒子的长度。

乙烯中碳原子之间双键中的 π 电子可以近似为一维盒模型中的粒子。这意味着这个问题中的粒子质量将是电子的质量，而盒子的长度对应于乙烯分子中碳原子之间的键长。

此外，由于电子从一个能级移动到另一个能级，所以上面的能量方程需要转换为 $\Delta E$ 的方程。

$\Delta E=E_{f}-E_{i}={\frac {h^{2}n_{i}^{2}}{8mL^{2}}}-{\frac {h^{2}n_{f}^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})$

现在，已知双键碳原子之间的键长为 133pm，电子的质量为 9.1093856x10^-31 kg，因此可以计算出乙烯中 π 和 π* 分子轨道之间的能量变化。从基态 n=1 移动到 n=2 的激发态。

$\Delta E={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})$

$\Delta E={\frac {(6.626{\text{x}}10^{-34}{\frac {{\text{m}}^{2}{\text{kg}}}{\text{s}}})^{2}}{8(9.109\times 10^{-31}{\text{kg}})(133\times 10^{-12}{\text{m}})^{2}}}(2^{2}-1^{2})$

$\Delta E=1.0217\times 10^{-17}{\text{J}}$

现在已知激发电子到 π* 轨道的所需能量，可以通过以下方程计算光的波长，其中 c 是真空中的光速，而 $\lambda$ 是光的波长。

$\Delta E={\frac {hc}{\lambda }}$

然后可以重新排列方程来求解光的波长。

$\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}$

通过代入已知常数和上面计算的 $\Delta E$ 值，可以找到波长。

$\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}$

$\lambda ={\frac {(6.626\times 10^{-34}{\frac {{\text{m}}^{2}{\text{kg}}}{\text{s}}})(2.998\times 10^{8}{\frac {\text{m}}{\text{s}}})}{1.0217\times 10^{-17}{\text{J}}}}$

$\lambda =1.9\times 10^{-7}{\text{m}}$

$\lambda =19{\text{nm}}$

因此，激发乙烯中电子从π到π*分子轨道所需的入射光波长为19nm。