量子化学/示例 14

使用微积分方法展示基态（n=0）量子谐振子的最可能位置

问题

量子谐振子在基态时的最可能位置是什么？使用概率密度方程计算这个位置，即在 n=0 时的最可能位置。

概率分布 $P_{n}(x)=N_{n}^{2}H_{n}({\sqrt {\alpha }}x)^{2}e^{-\alpha x^{2}}$

解决方案

n=0 时的厄米多项式为

$H_{0}(x)=1$

n=0 时的归一化因子为

$N_{0}={\frac {1}{\sqrt {2^{1}1!}}}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/4}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/4}$

α 是一个常数，等于

$\alpha ={\sqrt {\frac {k\mu }{\hbar }}}$

n=0 时的概率分布

$P_{n=0}(x)=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/2}e^{-\alpha x^{2}}$

最可能的位置是在概率分布最大时

${\frac {\partial P}{\partial x}}=0$

对概率分布应用这个偏导数得到

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/2}e^{-\alpha x^{2}}=0$

常数可以从导数中取出

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{-\alpha x^{2}}=0$

导数得到

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/2}[-2\alpha xe^{-\alpha x^{2}}]=0$

由于它等于零，常数可以被除掉，剩下

$[-2\alpha xe^{-\alpha x^{2}}]=0$

由于所有部分都相乘，所以可以除掉，剩下

$x=0$

对于量子谐振子，n=0 的基态，概率分布最大值的位置为 0。