量子化学/示例 16

写一个示例问题，展示计算 HCl 分子从 J=1->0 转动态发射的电磁辐射频率。

示例 16：给定键长 r_e=1.27Å，求 HCl 分子从 J=1→0 转动态发射的电磁辐射频率。

给定简化质量 (μ) 和惯性矩 (I)，可以找到能量，并随后用于找到跃迁的频率。

请注意，对于 J=1→0 的转动态，不需要 ΔE，因为跃迁态处于基态。

可以使用分子的简化质量和键长 (r_e = 1.27Å) 来找到惯性矩。

$I=\mu \cdot r_{e}^{2}$

其中简化质量可以通过以下公式计算

$\mu ={\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, 其中 $m_{1}=1.00784u$ 和 $m_{2}=35.453u$

$\mu ={\frac {(1.00784)(35.453)}{1.00784+35.453}}=0.9770u$

转换为 SI 单位

$1u=1.66054\times 10^{-27}kg$，因此

$\mu =0.9799u\times {\frac {1.66054\times 10^{-27}kg}{1u}}=1.627\times 10^{-27}kg$

请注意，键长也必须是 SI 单位，

1Å= 1×10^-10m

键长 = 1.27×10^-10m

现在可以计算惯性矩

$I=(1.627\times 10^{-27}kg)(1.27\times 10^{-10}m)^{2}=2.624\times 10^{-47}kg\cdot m^{2}$

计算出惯性矩后，就可以找到能量

$E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}J(J+1)=hv$

和 $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$，其中 h 是普朗克常数。

$E={\Biggl (}{\frac {6.626\times 10^{-34}m^{2}kgs^{-1}}{2\pi }}{\Biggr )}^{2}\times {\frac {1}{2\times 2.624\times 10^{-47}kg\cdot m^{2}}}\times 1(1+1)$

$E=4.240\times 10^{-22}J$

因此可以找到传输的频率

$v={\frac {E}{h}}$

$v={\frac {4.240\times 10^{-22}J}{6.626\times 10^{-34}m^{2}kgs^{-1}}}=6.40\times 10^{11}s^{-1}$