量子化学/示例 17

通过计算确定 HCl 的力常数为 480 N/m。根据此信息，求激发 HCl 分子从基态到第一激发态所需的电磁辐射频率。

解答

给定 HCl 的键常数 (k)，我们使用基本频率和键常数之间的关系来求键常数。

$\nu _{0}={\frac {1}{2\pi }}{\left({\frac {k}{\mu }}\right)}^{1/2}$

其中 $K$ 是键常数。

$\mu$ 是 HCl 的折合质量。

要找到 HCl 的折合质量，将 H 和 Cl 的质量相乘，然后除以质量之和。

$\mu ={\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

对于 HCl，折合质量计算如下

$\mu ={\frac {1.007842u\cdot 35.453u}{1.007842u+35.453u}}=0.979982u$

转换为 SI 单位 Kg

$1u=1.66054\cdot 10^{-27}Kg$

$0.979983u=0.979983u\cdot 1.66054\cdot 10^{-27}Kg$

$\mu =1.6273\cdot 10^{-27}Kg$

求基本频率

$\nu _{0}={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {K}{\mu }}\right)^{1/2}$

$={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {480N/m}{1.6273\cdot 10^{-27}Kg}}\right)^{1/2}$

$=8.6438\cdot 10^{13}hz$

找到基本频率后，可以通过以下公式求不同量子能级的能量

$E_{v}=h\nu _{0}\left(v+{\frac {1}{2}}\right)$

对于基态，即 $v=0$

$E_{0}=h\nu _{0}\left(0+{\frac {1}{2}}\right)$

$E_{0}=h\nu _{0}\left({\frac {1}{2}}\right)$

对于第一激发态，即 $v=1$

$E_{1}=h\nu _{0}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)$

$E_{1}=h\nu _{0}\left({\frac {3}{2}}\right)$

这两个状态之间的能量差为

$\Delta E=E_{1}-E_{0}$

$\Delta E=h\nu _{0}\left({\frac {3}{2}}\right)-h\nu _{0}\left({\frac {1}{2}}\right)$

$\Delta E=h\nu _{0}$

能量定义为普朗克常数乘以频率

$\Delta E=hv$

$hv=h\nu _{0}$

$v=\nu _{0}=8.6438\cdot 10^{13}hz$