量子化学/例 26

氢原子的角动量的平方被测量为 $L^{2}$$=20\hbar ^{2}$.  对于这个原子，轨道角动量的 z 分量的可能测量值是多少，$L_{z}$?

解

对于量子力学系统（如氢原子中的电子），角动量算符平方的特征值（${\hat {L}}$²) 由下式给出

${\hat {L}}^{2}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=h^{2}l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

其中 $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ 是球谐函数，它们是 ${\hat {L}}$² 的特征函数，$l$ 是轨道量子数，而 $m$ 是磁量子数。给定的 $L^{2}$ = 20 ħ2 值，因此我们建立了方程

$\hbar ^{2}l(l+1)=20\hbar ^{2}$

除以 $\hbar ^{2}$ 并简化，我们得到

$l(l+1)=20$

$l^{2}+l-20=0$

在这个二次方程中，$l$ 可以分解为

$(l-4)(l+5)=0$

$l=4$

由于 $l$ 必须是非负整数，因此磁量子数 $m$ 可以取从 $-l$ 到 $l$ 的任何整数值，因此对于 $l=4$，$m$ 可以是

$m=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$

角动量的 z 分量，$L_{z}$，是量子化的，以 $\hbar ^{2}$ 为单位，由下式给出

$L_{z}=m\hbar$

$L_{z}=-4\hbar ,-3\hbar ,-2\hbar ,-1\hbar ,0\hbar ,1\hbar ,2\hbar ,3\hbar ,4\hbar$.

因此，对于给定 $L^{2}$$=20\hbar ^{2}$ 原子的轨道角动量 z 分量 $L_{z}$ 的可能值是 $L_{z}=-4\hbar ,-3\hbar ,-2\hbar ,-1\hbar ,0\hbar ,1\hbar ,2\hbar ,3\hbar ,4\hbar$.