量子化学/例 28

问题

对于一个在边长为 6.00 Å 的 3D 立方体中的电子，请问

(a) the energy of its state?
(b) the degeneracy of this energy state?
(c) the total number of nodal planes for a particle in the ${n_{\text{x}}}=4$, ${n_{\text{y}}}=5$, and ${n_{\text{z}}}=3$?

解决方案

(a) 必须知道电子的质量才能确定粒子的能量。为了确定 3D 盒中电子的能级，必须使用与所有变量都用 SI 单位表示的方程来表示粒子在立方体中的能级。已知电子的质量为 ${9.1093837{\text{×}}10^{-31}{\text{kg}}}$. 普朗克常数已知为 ${6.62607015{\text{×}}10^{-34}{\text{m²·kg·s⁻¹}}}$. 盒子的长度为 ${6.00{\text{x}}10^{-10}{\text{m}}}$，因为已知一埃为 $10^{-10}{\text{m}}$. 可以通过以下方法计算立方体中电子的能量，

${E}=\left({\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}\right)\left({n_{\text{x}}^{2}+n_{\text{y}}^{2}+n_{\text{z}}^{2}}\right)$

${E}=\left({\frac {\left(6.62607015{\text{×}}10^{-34}{\text{m²·kg·s⁻¹}}\right)^{2}}{8{\text{×}}\left(9.1093837{\text{×}}10^{-31}{\text{kg}}\right){\text{×}}\left(6.00{\text{x}}10^{-10}{\text{m}}\right)^{2}}}\right)\left({{4^{2}}+{5^{2}}+{3^{2}}}\right)$

${E}=\left(1.68{\text{×}}10^{-19}{\text{J}}\right)\left(50\right)$

${E}=8.38{\text{×}}10^{-18}{\text{J}}$

(b) 简并性被定义为一个具有相同能量的能级，与具有不同量子数集的粒子相同。在本题中，简并态的能量必须等于以下值，

${E}=\left({\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}\right)\left({{4^{2}}+{5^{2}}+{3^{2}}}\right)=\left({\frac {50h^{2}}{8mL^{2}}}\right)$

为了确定系统的简并性，最简单的方法是使用矩阵，以确保遵循系统化的过程。在本例中，所有量子数的平方和必须等于 50。因此，矩阵如下，

${n_{\text{x}}}$	${n_{\text{y}}}$	${n_{\text{z}}}$	${n_{\text{x}}^{2}+n_{\text{y}}^{2}+n_{\text{z}}^{2}}$
4	5	3	4² + 5² + 3² = 50
4	3	5	4² + 3² + 5² = 50
5	3	4	5² + 3² + 4² = 50
5	4	3	5² + 4² + 3² = 50
3	4	5	3² + 4² + 5² = 50
3	5	4	3² + 5² + 4² = 50

因此，我们发现了6组不同的量子数，所以说这个能级是6重简并的。

(c) 为了确定节点面的数量，我们需要分别考虑每个轴。数学上，为了计算与x轴相关的节点面数量，我们需要使用以下公式：

${N_{\text{nodal planes x-axis}}=n_{\text{x}}-1}$

所以，在这个例子中，x轴的节点面数量是：

${N_{\text{nodal planes x-axis}}=4-1=3}$

同样地，对于y轴和z轴，节点面数量分别为：

${N_{\text{nodal planes y-axis}}=n_{\text{y}}-1=5-1=4}$

${N_{\text{nodal planes z-axis}}=n_{\text{z}}-1=3-1=2}$

所以，这个体系的节点面总数是9。这个数字是通过将每个轴的节点面数量加在一起得到的。