量子化学/示例 3

问题 3

当盒子长度 L=5 时，计算一维盒中粒子在 n=2 和 n=3 时的节点数量，并给出节点的 x 轴截距。

一维盒中粒子的波函数 $\psi (x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)$

答案

第一部分

n_nodes=n-1

n_nodes=2-1=1

我们正在寻找一个 x 轴截距。

$0\div {\sqrt {\frac {2}{5}}}={\sqrt {\frac {2}{5}}}\sin \left({\frac {2\pi x}{5}}\right)\div {\sqrt {\frac {2}{5}}}$

$0={\sqrt {\frac {2}{5}}}\sin \left({\frac {2\pi x}{5}}\right)$

使用形式 $\sin(kx)$，其中 $k=\left({\frac {2\pi }{5}}\right)$

$Period=\left({\frac {2\pi }{k}}\right)$

$Period=\left({\frac {2\pi }{\frac {2\pi }{5}}}\right)=5$

$\left({\frac {Period}{2}}\right)$ 是 x 轴截距

x 轴截距为 0，$\left({\frac {5}{2}}\right)$，5

0 和 5 是盒子的边缘，$\left({\frac {5}{2}}\right)$ 是唯一的节点。

第二部分

n_nodes=n-1

n_nodes=3-1=2

我们正在寻找两个 x 轴截距。

$0\div {\sqrt {\frac {3}{5}}}={\sqrt {\frac {3}{5}}}\sin \left({\frac {3\pi x}{5}}\right)\div {\sqrt {\frac {3}{5}}}$

$0={\sqrt {\frac {3}{5}}}\sin \left({\frac {3\pi x}{5}}\right)$

$k=\left({\frac {3\pi }{5}}\right)$ $Period=\left({\frac {3\pi }{\frac {3\pi }{5}}}\right)={\frac {10}{3}}$

x 轴截距是 $\left({\frac {5n}{3}}\right)$

x 轴截距 = 0, $\left({\frac {5}{3}}\right),\left({\frac {10}{3}}\right),5$

0 和 5 是箱子的边，$\left({\frac {5}{3}}\right)$ 和 $\left({\frac {10}{3}}\right)$ 是节点。