量子化学/示例 31

写一个与电磁辐射波长、频率、能量和波数之间的转换相关的示例问题。详细说明每个步骤并解释转换。

示例：一氧化碳在其红外光谱中在 2143 cm^-1 处显示一个尖峰。

a) 计算分子的振动频率和波长。

示例给出了波数，可以通过以下公式将其转换为频率

$\nu ={\tilde {\nu }}\times c$

其中 $\nu$ 是频率，${\tilde {\nu }}$ 是波数，c 是光速。

$\nu ={\tilde {\nu }}\times c$

$\nu =(2143cm^{-1})\times (2.99792458\times 10^{10}cm/s)$

$\nu =6.4245237484\times 10^{13}s^{-1}$

$\nu =64.24THz$

要找到振动的波长，我们可以使用以下公式

${\tilde {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}$

其中 $\lambda$ 是波长。

${\tilde {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}$

这个公式可以重新排列以求解波长

$\lambda ={\frac {1}{\tilde {\nu }}}$

$\lambda ={\frac {1}{2143cm^{-1}}}$

$\lambda =4.666356\times 10^{-4}cm$

这应该转换为 nm，因为波长通常以 nm 表示。

$\lambda =4.666356\times 10^{-4}cm\times {1nm \over (1\times 10^{-7}cm)}$

$\lambda =4.6\times 10^{3}nm$

b) 计算一氧化碳在其基态的能量。

要找到分子在其基态的能量，我们可以使用以下公式

$E=h\nu _{0}{\biggl (}v+\left({\frac {1}{2}}\right){\biggr )}$

其中 E 是能量，h 是普朗克常数，$v_{0}$ 是基态的频率，$v$ 是能级的量子数。

由于一氧化碳的振动表现为谐振子，所以我们可以使用这个公式。

$E=h\nu _{0}{\biggl (}v+\left({\frac {1}{2}}\right){\biggr )}$

$E=h(6.424\times 10^{13}s^{-1})$${\biggl (}0+\left({\frac {1}{2}}\right){\Biggr )}$

$E=2.12847674\times 10^{-20}J$

c) 计算将电子从基态激发到高2个能级的光子的波长。

在这种情况下，量子数 v 等于 2。我们可以使用与 b) 中相同的公式来首先求解由光子引起的能量变化。

$E=hv_{0}{\biggl (}v+\left({\frac {1}{2}}\right){\biggr )}$

$E=h(6.424\times 10^{13}s^{-1})$${\biggl (}2+\left({\frac {1}{2}}\right){\Biggr )}$

$E=1.06423837\times 10^{-19}J$

现在我们已经找到了能量变化，我们可以使用以下公式来计算光子的波长

$E=\left({\frac {hc}{\lambda }}\right)$

重新排列公式以求解 λ

$\lambda =\left({\frac {hc}{E}}\right)$

$\lambda =\left({\frac {hc}{1.06423837\times 10^{-19}J}}\right)$

$\lambda =0.0001866542cm$

将波长转换为 nm。

$\lambda =0.0001866542cm\times \left({\frac {1nm}{1\times 10^{-7}cm}}\right)$

$\lambda =1.86\times 10^{-6}nm$

因此，能够引起从基态到 v = 2 跃迁的光子必须具有 1.86 * 10^-6 nm 的波长。