量子化学/示例 34

计算氢原子从 n=2 ℓ =1 m_ℓ =-1 状态跃迁到 n=2 ℓ =1 m_ℓ =1 状态在 1 T 磁场中的波数。

答案

首先，需要氢原子在磁场中的能量方程。氢原子在磁场中的能量可以表示如下

$E=-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}h^{2}n^{2}}}+\beta _{B}m_{l}B_{z}$

其中 E 是以焦耳表示的能量，m_e 是以 kg 表示的电子质量，e 是以库仑 “C” 表示的电子电荷，ε₀ 是以 F/m 表示的真空介电常数，h 是以 J·s 表示的普朗克常数，n 是主量子数。在方程的另一半中，考虑磁量子数，B_z 是以特斯拉 “T” 表示的磁场，m_l 是磁量子数，β_B 是以 J/T 表示的玻尔磁子，它可以通过以下公式计算

$\beta _{B}={\frac {|e|\cdot \hbar }{2m_{e}}}={\frac {|1.6022\times 10^{-19}C|\cdot 1.0546\times 10^{-34}J\cdot s}{2(9.1094\times 10^{-31}kg)}}=9.2740\times 10^{-24}J/T$

因此，使用前面提到的氢原子能量方程，跃迁能量，即能量差“∆E”，可以表示如下

$\Delta E=E_{upper}-E_{lower}=(-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}h^{2}n_{upper}^{2}}}+\beta _{B}m_{l,upper}B_{z})-(-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}h^{2}n_{lower}^{2}}}+\beta _{B}m_{l,lower}B_{z})$

如果我们回到问题中，我们可以注意到量子数“n”没有变化，因为在两种状态下“n=2”。此外，如果我们看能量方程的第一项，我们可以看到它除了量子数“n”之外都是常数。因此，由于两种状态下的“n”相同，这两项可以相互抵消。因此，方程变为

$\Delta E=\beta _{B}m_{l,upper}B_{z}-\beta _{B}m_{l,lower}B_{z}$

因此，代入后

$\Delta E=\beta _{B}m_{l,upper}B_{z}-\beta _{B}m_{l,lower}B_{z}=\beta _{B}B_{z}(m_{l,upper}-m_{l,lower})=9.27\times 10^{-24}J\cdot T^{-1}(1T)[1-(-1)]=9.27\times 10^{-24}J\cdot T^{-1}(1T)(2)=1.85\times 10^{-23}J$

然后，我们可以将能量转换为波数

$E=hc{\tilde {\nu }}\Longrightarrow {\tilde {\nu }}={\frac {E}{hc}}={\frac {1.85\times 10^{-23}J}{6.626\times 10^{-34}Js(3.00\times 10^{8}m/s)}}=93.3m^{-1}=0.933cm^{-1}$

这个值是合理的，因为跃迁的能量/波数之间的差异通常很小。用于该问题跃迁的仪器是电子顺磁共振 (EPR) 光谱仪，这是一种著名的光谱类型，它测量电磁辐射的吸收，但它使用磁场来测量，它会将磁场施加到不成对的电子上。EPR 光谱专门测量微波辐射的吸收，微波辐射大约在 ~0.1-10.0cm^-1 的范围内。因此，答案是有意义的。