量子化学/示例 4

问题

在一个一维盒子里，一个电子从高能级跃迁到低能级，并发射出一个光子。如果一维盒子的长度为 1.0 厘米，并且量子数跃迁为 $n_{{3}\rightarrow {2}}$ ，那么发射出的光子的电磁辐射频率是多少？

解答

在一个一维盒子中，粒子在特定量子数 ( ${E_{n}}$ ) 时的能级为：

$E_{n}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}{n^{2}}$

其中 $h$ 等于普朗克常数 (6.62607015 x 10^-34 J $\cdot$ s)， $n$ 等于量子数 ( $n$ = 1, 2, 3, ...), $m$ 等于粒子的质量， $L$ 等于一维盒子的长度。对于电子，质量等于 9.10938356 x 10^-31 kg。

由于 ${E_{n}}\propto {n^{2}}$ （假设质量和盒子长度是恒定的），当量子数增加一倍时，能级增加四倍。因此，如果一个粒子在一个一维盒子里经历了一个能级跃迁，那么初始量子数和最终量子数的能级之间会存在差异。经历过能级跃迁的一维盒子中的粒子的能级差 ( $\Delta {E}$ ) 为：

$\Delta {E}={E_{n_{f}}}-{E_{n_{i}}}$

$=\left[{\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}{n_{f}^{2}}\right]-\left[{\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}{n_{i}^{2}}\right]$

$\Delta {E}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}{({n_{f}^{2}}-{n_{i}^{2}}})$

其中 $n_{f}$ 等于最终量子数，而 $n_{i}$ 等于初始量子数。

如果 $n_{f}>n_{i}$ ， $\Delta {E}$ 为正值；光子被吸收。

如果 $n_{f}<n_{i}$ ， $\Delta {E}$ 为负值；光子被发射。

因此，一个长度为 1.0 厘米的一维盒中电子在经历了 $n_{{3}\rightarrow {2}}$ 跃迁后的能级差为：

${\displaystyle \Delta {E}=\left[{\frac {(6.6261\times 10^{-34}{\text{ J}}{\text{ s}})^{2}}{8(9.1094\times 10^{-31}{\text{ kg}})(1.0\times 10^{-2}{\text{ m}})^{2}}}\right]{({2}^{2}-{3}^{2}})=\left[{\frac {(6.6261\times 10^{-34}{\text{ m}}^{2}{\text{ kg}}{\text{ s}}^{-1})^{2}}{8(9.1094\times 10^{-31}{\text{ kg}})(1.0\times 10^{-2}{\text{ m}})^{2}}}\right]{({2}^{2}-{3}^{2}})}">$

$\Delta {E}=-3.01\times 10^{-33}{\text{ J}}$

经历 $n_{{3}\rightarrow {2}}$ 跃迁的电子的能级差为 -3.01 × 10^-33 J。由于 $n_{f}<n_{i}$ ，电子发射了 3.01 × 10^-33 J 的能量。如果电子经历了 $n_{{2}\rightarrow {3}}$ 跃迁，电子将吸收与从 $n_{{3}\rightarrow {2}}$ 跃迁发射的能量相同的能量，即 3.01 × 10^-33 J。

$\Delta {E}=\left[{\frac {(6.6261\times 10^{-34}{\text{ m}}^{2}{\text{ kg}}{\text{ s}}^{-1})^{2}}{8(9.1094\times 10^{-31}{\text{ kg}})(1.0\times 10^{-2}{\text{ m}})^{2}}}\right]{({3}^{2}-{2}^{2}})=3.01\times 10^{-33}{\text{ J}}$