量子化学/示例 5

对于一个处于长度为 5 厘米的一维盒中的粒子（假设粒子是一个具有 1 个量子数的电子），一维盒中粒子的能级方程为：

$E_{n}={\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}$

a. 如果一维盒的长度增加到 10 厘米，盒中该粒子的能级变化是多少？

b. 如果一维盒的长度减少到 2 厘米，盒中该粒子的能级变化是多少？

c. 解释长度变化对一维盒中粒子的能级的影响。

解决方案

一维盒中粒子的能级

$E_{n}={\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}$

其中 h 是普朗克常数，等于 $6.626\times 10^{-34}{\text{ J s}}$

由于该粒子是一个具有 1 个量子数的电子

m 是该粒子的质量，等于 $9.109\times 10^{-31}{\text{ kg}}$

n 是该粒子的量子数，等于 1

L 是该一维盒的长度，等于 $5{\text{ cm}}$

对于这个问题，

$\Delta {E}=E_{nf}-E_{ni}$

$=\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}{\frac {1}{L_{f}^{2}}}\right]-\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}{\frac {1}{L_{i}^{2}}}\right]$

$=\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}\right]\times \left[{\frac {1}{L_{f}^{2}}}-{\frac {1}{L_{i}^{2}}}\right]$

a. 对于 a 部分，该一维盒的初始长度：$L_{i}=5{\text{ cm}}=5\times 10^{-2}{\text{ m}}$，该一维盒的最终长度：$L_{f}=10{\text{ cm}}=10\times 10^{-2}{\text{ m}}$

$\Delta {E}=\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}\right]\times \left[{\frac {1}{L_{f}^{2}}}-{\frac {1}{L_{i}^{2}}}\right]$

$=\left[{\frac {(6.626\times 10^{-34}{\text{ J s}})^{2}(1)^{2}}{(8)(9.109\times 10^{-31}{\text{ kg}})}}\right]\left[{\frac {1}{(10\times 10^{-2}{\text{m}})^{2}}}-{\frac {1}{(5\times 10^{-2}{\text{m}})^{2}}}\right]$

$=-1.807\times 10^{-35}{\text{ J}}$

b. 对于部分 b，此一维盒子的初始长度：$L_{i}=5{\text{ cm}}=5\times 10^{-2}{\text{ m}}$，此一维盒子的最终长度：$L_{f}=2{\text{ cm}}=2\times 10^{-2}{\text{ m}}$

$\Delta {E}=\left[{\frac {h^{2}n^{2}}{8m}}\right]\times \left[{\frac {1}{L_{f}^{2}}}-{\frac {1}{L_{i}^{2}}}\right]$

$=\left[{\frac {(6.626\times 10^{-34}{\text{ J s}})^{2}(1)^{2}}{(8)(9.109\times 10^{-31}{\text{ kg}})}}\right]\left[{\frac {1}{(2\times 10^{-2}{\text{m}})^{2}}}-{\frac {1}{(5\times 10^{-2}{\text{m}})^{2}}}\right]$

$=1.265\times 10^{-34}{\text{ J}}$

c. 根据部分 a 和 b 的计算结果，一维盒子中粒子的能级随着一维盒子长度的增加而降低，而随着一维盒子长度的减小而升高。因此，一维盒子中粒子的能级与一维盒子的长度呈负相关。