量子化学/示例 6

使用以下公式计算 H、He⁺ 和 Li²⁺ 的基态能量，$E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$，然后得出增加原子序数对基态能量影响的结论。

解决方案

使用薛定谔方程（ĤΨ=EΨ）求解了氢原子的波函数。从薛定谔方程，也可以确定氢原子量子态的能量，因为能量是薛定谔方程的特征值。氢原子每个能级能量的方程式如下：

能级能量 $E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$

在上述公式中，Z 是核电荷，m_e（9.10938356 x 10^-31 kg）是电子的质量，e（1.60217662 x 10^-19 C）是基本电荷，ε₀（8.8541878128 x 10^-12 Fm^-1）是真空介电常数，ħ 是约化普朗克常数，n 是主量子数。

氢原子的波函数可以扩展到任何只有一个电子的原子。任何只有一个电子的原子都将具有与氢原子相同的能级的电子，因为电子必须先被放置在较低能级，然后再放置在较高能级。氢和其他只有一个电子的原子之间的唯一区别是原子核和电子之间的吸引力。由于 He⁺ 和 Li²⁺ 等其他原子在它们的原子核中具有更多的质子，导致电子对原子核的库仑吸引力更大，从而影响轨道大小。结果，基态能量将在具有不同核电荷的单电子系统之间有所不同。

可以通过计算 H、He⁺ 和 Li²⁺ 的基态能量，并观察能量之间的差异来证明这一点。从计算氢的基态开始，其中 Z=1，n=1。

$E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$

$E=-\left({\frac {(1)^{2}(9.10938356\times 10^{-31}{\text{kg}})(1.60217662\times 10^{-19}{\text{C}})^{4}}{32\pi ^{2}(8.8541878128\times 10^{-12}{\text{Fm}})^{2}(1.054571817\times 10^{-34}{\text{Js}})^{2}}}\right){\frac {1}{1^{2}}}$

$E=-2.17987225\times 10^{-18}{\text{J}}$

$1{\text{eV}}=1.602176634\times 10^{-19}{\text{J}}$

$E=-13.60569243{\text{eV}}$

$1{\text{Hartree}}=4.359744722207185\times 10^{-18}{\text{J}}$

$E=-0.5{\text{Hartree}}$

然后对于 He⁺，其中 Z=2，n=1。

$E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$

$E=-\left({\frac {(2)^{2}(9.10938356\times 10^{-31}{\text{kg}})(1.60217662\times 10^{-19}{\text{C}})^{4}}{32\pi ^{2}(8.8541878128\times 10^{-12}{\text{Fm}})^{2}(1.054571817\times 10^{-34}{\text{Js}})^{2}}}\right){\frac {1}{1^{2}}}$

$E=-8.71948901\times 10^{-18}{\text{J}}$

$E=-54.42276978{\text{eV}}$

$E=-2{\text{Hartree}}$

最后对于Li²⁺，其中Z=3，n=1，

$E=-\left({\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}$

$E=-\left({\frac {(3)^{2}(9.10938356\times 10^{-31}{\text{kg}})(1.60217662\times 10^{-19}{\text{C}})^{4}}{32\pi ^{2}(8.8541878128\times 10^{-12}{\text{Fm}})^{2}(1.054571817\times 10^{-34}{\text{Js}})^{2}}}\right){\frac {1}{1^{2}}}$

$E=-1.96188503\times 10^{-17}{\text{J}}$

$E=-122.4512322{\text{eV}}$

$E=-4.5{\text{Hartree}}$

氢原子的基态能量等于-0.5 Hartree，He⁺为-2 Hartree，Li²⁺为-4.5 Hartree。能量以非线性方式增加，这可以归因于分子中的Z²项。这意味着随着Z的增加，电离一个电子原子将需要更多的能量。