量子化学/示例 9

编写一个计算2s轨道中电子节点位置的问题及其解答。

问题

问题是找到氢原子2s电子径向节点的位置。要找到节点，可以从分析一般情况下在2s电子体系中应该期望看到多少个节点开始。有两个方程给出轨道中存在的节点数，即角节点方程和径向节点方程。

1. 径向节点

$n-\ell -1=n_{r}$

2. 角节点

$\ell =n_{a}$

因此，必须确定ℓ，根据表1数据，可以确定ℓ等于0。n等于$n$，即2，这来自轨道类型前的数字，它告诉您主量子数。

表 1：轨道和量子数

轨道	角 动量 量子 数 (ℓ)
s	0
p	1
d	2
f	3

那么有多少个节点呢？

首先分析角节点的数量

$\ell =n_{a}$

$0=n_{a}$

因此，角节点的数量为0。

径向节点

$n_{r}=n-\ell -1$

$n_{r}=2-0-1$

$n_{r}=1$

因此，2s轨道中存在一个径向节点，导致问题变成该径向节点在哪里？

波函数

现在接下来的主要步骤是确定描述2s电子这种情况的波函数。波函数可以在网上找到，它是$:^{1}$

$\psi _{2s}={\frac {1}{4(2\pi )^{\frac {1}{2}}}}\left({\frac {1}{a_{0}}}\right)^{3/2}\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right){\text{e}}^{-r/(2a_{0})}$

在该方程中，$\psi _{2s}$是2s电子的波函数，r是半径，$a_{0}$是玻尔半径。

根据方程式，我们可以求解电子的位置。最好的方法是找到方程式等于零的位置，以及导致这种情况的包含位置的项。第一部分${\frac {1}{4(2\pi )^{\frac {1}{2}}}}$是一个常数，因此不会随电子的半径（即位置）发生变化。所以，唯一会随电子位置变化的是𝒓项。对于${\text{e}}^{-r/(2a_{0})}$，𝒓项可以是任何数值，除非𝒓接近无穷大，否则该项不会为零，而$\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right)$可能等于零，因为它减去了位置项。因此，可以将此项设置为零并求解𝒓。

$0=2-{\frac {r}{a_{0}}}$

$2={\frac {r}{a_{0}}}$

$2a_{0}=r$

因此，我们得到了径向节点位置的解，即𝒓$=2a_{0}$，所以当𝒓$=2a_{0}$时，电子位于原子核周围任何位置的概率都为0，从而形成一个节点。$a_{0}$的长度为52.9 pm，这意味着节点距离原子核的半径为105.8 pm。

结论

总之，寻找轨道中电子节点的问题，其解决方法归结为：首先找到理论节点的数量，然后确定波函数，分析波函数的变量并求解0。完成所有这些步骤后，您将得到径向节点位置的解。还可以解决其他问题，因为它们是后续问题，在找到节点后更容易解决，例如电子在其最可能状态下的位置。这个问题遵循以下解决方案：排列P=$\psi _{2s}$$\left(\psi _{2s}^{*}\right)$$\left(r^{2}\right)$，然后求波函数的导数并进行简化。最后一步是找到零点，其中𝒓等于零，这将给出电子最可能的位置。找到节点位置的实际应用有助于理解轨道的运作方式，这有助于创建分子轨道图和SALC，可用于确定原子和分子键合的方式。其他应用包括理解键和轨道的能级，以预测分子和原子之间可能的相互作用，用于研究目的和化学工程。

参考文献

1) Branson, J. 径向波函数解。 https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node233.html（访问日期：2021年11月16日）。

作者：Dmitry Ivanov