量子化学/变量替换积分

在计算积分时，使用“变量替换” (或代换) 技术可以将复杂积分的形式 $\int f(g(x))g'(x)dx$ 转换为更简单的函数。该技术通过引入一个新变量 $u$ 来替代 $g(x)$ 来简化积分。当积分包含具有已知导数的函数，或容易计算导数时，此方法最有效，因为该过程利用了链式法则。变量替换技术的通用步骤如下：

1. 选择你的代换，$u=g(x)$：识别要积分的函数中你想用变量 $u$ 替换的那一部分。被替换的部分应该有一个导数，$du$，它与积分的其余部分相似（即一个倍数）。
2. 计算导数，${du \over dx}=g'(x)$：找到所选函数部分相对于 $x$ 的导数，然后重新排列表达式以用 $dx$ 表示新变量 $du$ 的导数，$du=g'(x)dx$。
3. 新变量的代换：用新函数（关于 $u$ 和 $du$）替换原始函数（关于 $x$ 和 $dx$）。此步骤应该通过用 $u$ 替换原始函数的一部分，并用 $du$ 的倍数替换 $dx$ 来简化积分。
4. 计算新的积分：用代换变量 $u$ 求解新的简化积分。
5. 原始变量的代换：用原始函数 $u=g(x)$ 替换新变量。

示例

$\int \sin(x)\cos(x)dx$

1. 选择你的替换，$u=g(x)$。在本例中，你应该注意到，$g(x)=\sin(x)$ 对 $x$ 的导数是积分其余部分的倍数。因此，对于这种情况，最有效的替换是：

$u=g(x)=\sin(x)$

2. 计算导数，${du \over dx}=g'(x)$。在本例中，其中 $u=\sin(x)$，你将使用已知的导数通过三角恒等式来计算导数。然后应重新排列导数以给出 $du$ 关于 $dx$ 的表达式；

${du \over dx}=g'(x)=\cos(x)$

$du=\cos(x)dx$

3. 新变量的替换：在本例中，变量 $u$ 将替换 $\sin(x)$，而 $du$ 将替换 $\cos(x)dx$。

$\int \sin(x)\cos(x)dx=\int udu$

4. 计算你的新积分：在本例中，使用幂法则求解积分。

$\int udu={u^{2} \over 2}+C$

5. 原始变量的替换：将 $u=g(x)=\sin(x)$ 替换回函数中。

${u^{2} \over 2}+C={\sin ^{2}(x) \over 2}+C$