量子场论/经典拉格朗日场论

狭义相对论

狭义相对论是由阿尔伯特·爱因斯坦在20世纪初提出的。狭义相对论是经典力学的继承者，经典力学基于牛顿力学，牛顿力学是由艾萨克·牛顿（顾名思义）发展起来的。经典力学在涉及速度远小于光速的日常现象中具有良好的精度。然而，当速度接近光速时，经典力学就会失效。经典力学主要基于伽利略变换下的不变性。这告诉我们一个参考系$S$中观察到的现象在另一个参考系$S^{\prime }$中将如何出现，该参考系相对于原始参考系$S$具有不同的速度$v$。根据伽利略变换，坐标变换如下

$x^{\prime }=x-vt$

$t^{\prime }=t$

另一方面，狭义相对论基于洛伦兹变换下的不变性，

$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$

$t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^{2})$ 其中$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$。这里，假设参考系$S$相对于$S^{\prime }$在$x$方向上具有速度。

请注意，在洛伦兹变换下，间隔$ds^{2}=dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$ 保持不变。或者换句话说，间隔在洛伦兹变换下像标量一样变换。时间和空间坐标一起构成一个四向量$x^{\mu }=(t,\mathbf {x} )$。任何像时空坐标一样在洛伦兹变换下变换的量都被定义为四向量。除了$x^{\mu }$本身，能量动量或动量四向量$p^{\mu }=(E,\mathbf {p} )$ 也是一个四向量。四向量$x^{\mu }$ 的对偶用$x_{\mu }$ 表示。对偶向量$x_{\mu }$ 与$x^{\mu }$ 的关系为$x_{\mu }=(t,-\mathbf {x} )$。向量与对偶向量的乘积像标量一样变换。这种乘积被称为内积。

变分原理

作用量和拉格朗日量

在经典力学中，作用量$S$ 和拉格朗日量$L$ 之间的关系如下

$S=\int L\,dt$

这两个量在量子场论中也有类似的定义。但是，在量子场论中，引入拉格朗日密度${\mathcal {L}}$ 通常更方便。因此，作用量也可以定义为

$S=\int {\mathcal {L}}\,d^{4}x$

变分原理

物理学中最重要原理之一，也常被称为“驻定作用原理”或“最小作用原理”。可以以多种方式表述

1. 在所有具有给定边界条件的场中，使作用量取极值（通常为最小值，参见最小作用原理）的场是解。
2. 作用量变分为零的场是解。

换句话说，如果$\phi$是解，我们添加一个任意的微小变化$\delta \phi$，那么作用量（线性部分）的变化$\delta S(\phi )\equiv S(\phi +\delta \phi )-S(\phi )$会消失，$\delta S(\phi )=0$。

注意，变化$\delta \phi$不能改变$\phi +\delta \phi$的边界条件，因此必须在边界处消失。

还要注意的是，作用量必须是实数（仅仅是为了谈论最小值），并且必须是四标量（洛伦兹不变）

欧拉-拉格朗日方程

在经典力学中，拉格朗日量$L$是正则坐标$q$和正则动量${\dot {q}}$的函数。欧拉-拉格朗日方程如下

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0$

然而，在量子场论中，拉格朗日量的两个变量是场及其对应的导数$\phi$和$\partial _{\mu }\phi$。此外，量子场论将时间和空间导数视为同等地位。因此，欧拉-拉格朗日方程写成

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{\mu }\phi \right)}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0$

其中${\mathcal {L}}$是拉格朗日密度。

守恒电流

• 标量场的正则量子化
  • 拉格朗日量和欧拉-拉格朗日方程
  • 正常模式解
  • 产生和湮灭算符
  • 哈密顿量和对易关系