量子场论/标准模型简介

局部规范对称性。规范理论。非阿贝尔规范理论。

自发对称性破缺。戈德斯通定理。希格斯机制。

希格斯机制是一个理论框架，它关注基本粒子质量的起源；从技术上讲，它提供了唯一一致的解释，即如何通过自发电弱对称性破缺产生 W 和 Z 玻色子的质量。更一般地说，希格斯机制是任何规范理论中的规范玻色子获得非零质量的方式。

对于其他粒子，例如费米子，希格斯机制也可以解释质量，同样以规范不变的方式。

在标准模型中，希格斯机制的最简单实现需要一个额外的希格斯场，它与规范场相互作用，并且在其最低能量状态（真空期望值）中具有非零值。这意味着整个空间都充满了背景希格斯场，即所谓的希格斯凝聚态。与该背景场的相互作用改变了规范场的低能谱，规范玻色子变得有质量。

希格斯场具有非平凡的自相互作用，就像墨西哥帽势一样，这导致自发对称性破缺：在最低能量状态下，势的对称性（包括规范对称性）被凝聚态破坏。对场在最小值附近的小扰动的分析表明，规范玻色子和其它粒子获得质量。在标准模型中，希格斯场是 SU(2) 双重态，是一个具有四个实数分量的复旋量，它在标准模型 U(1) 下带电。对称性破缺后，希格斯场中四个自由度中的三个与 W 和 Z 玻色子混合，而剩下的一个自由度成为希格斯玻色子——一种新的标量粒子。

戈德斯通玻色子

粒子物理学中自发对称性破缺模型的问题是，根据戈德斯通定理，它们带有无质量的标量粒子。如果一个对称性被凝聚态破坏，用对称性生成器作用于凝聚态会得到具有相同能量的第二态。因此，某些振荡没有能量，与这些振荡相关的粒子质量为零。

在标准模型中，在温度高到足以保持对称性未破缺的情况下，除了标量希格斯玻色子外，所有基本粒子都是无质量的。在临界温度下，希格斯场自发地从最大能量点滑向随机选择的某个方向。一旦对称性被破坏，规范玻色子粒子，例如 W 玻色子和 Z 玻色子，就获得了质量。质量可以被解释为粒子与“希格斯海洋”相互作用的结果。

费米子，例如标准模型中的轻子和夸克，由于与希格斯场的相互作用而获得质量，但与规范玻色子不同。

超导

希格斯机制可以被认为是真空中的超导。当整个空间都充满了带电粒子的海洋时，或者用场语言来说，当一个带电场具有非零的真空期望值时，就会发生这种情况。与填充空间的量子流体的相互作用阻止了某些力在长距离内传播。

超导体将所有磁场从其内部排除出去，这种现象被称为迈斯纳效应。这在很长一段时间内都是一个谜，因为它意味着电磁力在超导体内部以某种方式变得短程。将此与普通金属的行为进行对比。在金属中，电导率通过在表面重新排列电荷来屏蔽电场，直到总场在内部抵消。但是磁场可以穿透任何距离，如果一个磁单极子（一个孤立的磁极）被金属包围，则该场可以逸出，而不收敛成弦。然而，在超导体中，电荷以无耗散的方式移动，这允许永久表面电流，而不仅仅是表面电荷。当磁场在超导体的边界处引入时，它们会产生表面电流，这些电流完全中和了它们。迈斯纳效应是由薄表面层中的电流引起的，该层的厚度是伦敦穿透深度，可以通过一个简单的模型计算出来。

这个简单的模型，是由列夫·朗道和维塔利·金茨堡提出的，将超导性视为带电的玻色-爱因斯坦凝聚态。假设超导体包含带电荷 $q$ 的玻色子。玻色子的波函数可以通过引入一个量子场 $\psi$ 来描述，该场服从薛定谔方程作为场方程（在 $\hbar$ ，普朗克量子除以 $2\pi$ ，被替换为 1 的单位中）。

i{\partial \over \partial t}\psi ={(\nabla -iqA)^{2} \over 2m}\psi \,

算符 $\psi (x)$ 在点 $x$ 消灭一个玻色子，而它的伴随算符 $\scriptstyle \psi ^{\dagger }$ 在同一点上创建一个新的玻色子。玻色-爱因斯坦凝聚体的波函数就是 $\psi (x)$ 的期望值 $\Psi$ ，这是一个服从相同方程的经典函数。期望值的解释是，它是应该赋予新创建的玻色子的相位，以便它能够与凝聚体中已经存在的其他所有玻色子发生相干叠加。

当存在带电凝聚体时，电磁相互作用会得到屏蔽。为了看到这一点，考虑规范变换对场的影响。规范变换将凝聚体的相位旋转一个从点到点变化的量，并将矢量势移动一个梯度。

\psi \rightarrow e^{iq\phi (x)}\psi \,

A\rightarrow A+\nabla \phi \,

当不存在凝聚体时，这种变换只会改变 $\psi$ 在每个点的相位定义。但是当存在凝聚体时，凝聚体的相位定义了一个优选的相位选择。

凝聚体波函数可以写成

\psi (x)=\rho (x)\,e^{i\theta (x)},\,

其中 $\rho$ 是实振幅，它决定了凝聚体的局部密度。如果凝聚体是中性的，则流动将沿着 $\theta$ 的梯度，即薛定谔场相位变化的方向。如果相位 $\theta$ 变化缓慢，则流动速度慢且能量很低。但是现在 $\theta$ 可以通过进行规范变换来旋转场的相位而变为零。

相位缓慢变化的能量可以从薛定谔动能计算得出，

H={1 \over 2m}|{(qA+\nabla )\psi |^{2}},\,

并将凝聚体的密度 $\rho$ 设为常数，

H\approx {\rho ^{2} \over 2m}(qA+\nabla \theta )^{2}.\,

固定规范的选择，使凝聚体在任何地方都具有相同的相位，则电磁场能量有一个额外的项，

{q^{2}\rho ^{2} \over 2m}A^{2}.\,

当存在这一项时，电磁相互作用变得短程。每一个场模，无论波长多长，都以非零频率振荡。最低的频率可以从长波长 A 模的能量读出，

E\approx {{\dot {A}}^{2} \over 2}+{q^{2}\rho ^{2} \over 2m}A^{2}.\,

这是一个频率为 $\scriptstyle {\sqrt {q^{2}\rho ^{2}/m}}$ 的谐振子。 $|\psi |^{2}$ （= $\rho ^{2}$ ）是超导粒子的凝聚态密度。

在实际的超导体中，带电粒子是电子，它们是费米子而不是玻色子。因此，为了实现超导性，电子需要以某种方式结合成库珀对。凝聚态的电荷 $q$ 因此是电子电荷 $e$ 的两倍。普通超导体中的配对是由于晶格振动引起的，实际上非常弱；这意味着配对非常松散。对松散配对的玻色-爱因斯坦凝聚态的描述实际上比对基本粒子的凝聚态的描述更困难，直到 1957 年才由巴丁、库珀和施里弗在著名的 BCS 理论中解决。

阿贝尔-希格斯模型

在相对论规范理论中，矢量玻色子天生是无质量的，就像光子一样，导致长程力。这对电磁力来说很好，因为电磁力实际上是长程力，但这意味着规范理论对短程弱力的描述需要修改。

规范不变性意味着规范场的某些变换不会改变能量。如果在 A 中添加任意梯度，场的能量完全相同。这使得难以添加质量项，因为质量项往往会将场推向零值。但是，矢量势的零值不是规范不变的概念。在一个规范中为零的东西在另一个规范中就不为零了。

因此，为了给规范理论赋予质量，必须通过凝聚态来破坏规范不变性。凝聚态将定义一个优先相位，而凝聚态的相位将以规范不变的方式定义场的零值。规范不变的定义是，当沿任何路径从平行传输得到的相位变化等于凝聚态波函数的相位差时，规范场为零。

凝聚态值由具有期望值的量子场描述，就像在朗道-金茨堡模型中一样。为了确保场的凝聚态值不会在时空上选择一个优先方向，它必须是一个标量场。为了让凝聚态的相位定义一个规范，场必须带电。

为了让标量场 $\Phi$ 带电，它必须是复数。等效地，它应该包含两个具有旋转对称性的场，这些场互相旋转，即实部和虚部。矢量势在量子从一个点移动到另一个点时改变了由场产生的量子的相位。在场的术语中，它定义了在比较附近点的场值时，要将场的实部和虚部互相旋转多少。

复标量场 Φ 唯一获得非零值的重整化模型是墨西哥帽模型，其中场能量在远离零的地方有一个最小值。

S(\phi )=\int {1 \over 2}|\partial \phi |^{2}-\lambda \cdot (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}

这定义了以下哈密顿量

H(\phi )={1 \over 2}|{\dot {\phi }}|^{2}+|\nabla \phi |^{2}+V(|\phi |)

第一项是场的动能。第二项是场从一个点到另一个点变化时的额外势能。第三项是场具有任何给定幅度时的势能。

这种势能 $\scriptstyle V(z,\Phi )=\lambda \cdot (|z|^{2}-\Phi ^{2})^{2}\,$ 的图形看起来像一个墨西哥帽，这就是模型名称的来源。特别是，最小能量值不在z=0处，而是在z的大小为 $\Phi$ 的圆圈上的点上。

当场 $\Phi$ (x) 不与电磁力耦合时，墨西哥帽势能具有平坦方向。从真空圆圈中的任何一点开始，从一点到另一点改变场的相位需要很少的能量。数学上，如果

\phi (x)=\Phi e^{i\theta (x)}\,,

具有一个常数前因子，那么场 $\theta (x)$ 的作用，即希格斯场 Φ(x) 的 "相位"，只有导数项。这并不令人惊讶。对 $\theta (x)$ 添加一个常数是原始理论的对称性，因此 $\theta (x)$ 的不同值不能具有不同的能量。这是一个关于戈德斯通定理的例子：自发破缺的连续对称性会导致无质量粒子。

阿贝尔希格斯模型是与电磁力耦合的墨西哥帽模型

S(\phi ,A)=\int {1 \over 4}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+|(\partial -iqA)\phi |^{2}+\lambda \cdot (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}.

经典真空再次位于势能的最小值处，复场的幅度 $\phi$ 等于 $\Phi$ 。但现在场的相位是任意的，因为规范变换会改变它。这意味着场 $\theta (x)$ 可以通过规范变换设置为零，并且根本不代表任何自由度。

此外，选择一个规范，其中凝聚态的相位是固定的，矢量场的涨落的势能是非零的，就像它在朗道-金茨堡模型中一样。因此在阿贝尔希格斯模型中，规范场获得质量。为了计算质量的大小，考虑在凝聚态具有恒定相位的规范中矢量势A在x方向上的恒定值。这与矢量势为零的规范中的正弦变化的凝聚态相同。在A为零的规范中，凝聚态中的势能密度是标量梯度能

E={1 \over 2}|\partial (\Phi e^{iqAx})|^{2}={1 \over 2}q^{2}\Phi ^{2}A^{2}

而这种能量与一个质量项相同 $m^{2}A^{2}/2$ 其中 $m=q\Phi$ 。

非阿贝尔希格斯机制

非阿贝尔希格斯模型具有以下作用

S(\phi ,\mathbf {A} )=\int {1 \over 4g^{2}}\mathop {\textrm {tr}} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+|D\phi |^{2}+V(|\phi |)\,,

现在，非阿贝尔场 $\mathbf {A}$ 包含在 *D* 中，以及张量分量 $F^{\mu \nu }$ 和 $F_{\mu \nu }$ 中（ $\mathbf {A}$ 与这些分量之间的关系在杨-米尔斯理论中是众所周知的）。

它与阿贝尔希格斯模型完全类似。现在场 $\phi$ 处于规范群的表示中，规范协变导数由场的变化率减去使用规范场 A 作为连接的平行传输的变化率定义。

D\phi =\partial \phi -iA^{k}t_{k}\phi \,

同样，Φ 的期望值定义了一个首选规范，其中凝聚体是恒定的，并且固定此规范，规范场 A 中的涨落会带来非零能量成本。

根据标量场的表示方式，并非所有规范场都会获得质量。一个简单的例子是 Julian Schwinger 提出的早期电弱模型的可重整版本。在这个模型中，规范群为 SO(3)（或 SU(2)——模型中没有旋量表示），并且规范不变性在长距离被破坏为 U(1) 或 SO(2)。为了使用希格斯机制构建一个一致的可重整版本，引入一个标量场 $\phi ^{a}$ ，它作为 SO(3) 的一个向量（一个三元组）进行变换。如果这个场具有真空期望值，它将在场空间中指向某个方向。不失一般性，可以选择场空间中的 z 轴作为 $\phi$ 指向的方向，然后 $\phi$ 的真空期望值为 $(0,0,A)$ ，其中 A 是一个具有质量量纲的常数 ( $\scriptstyle c=\hbar =1$ ）。

绕 z 轴的旋转形成 SO(3) 的一个 U(1) 子群，它保持了 $\phi$ 的真空期望值，这就是未破缺的规范群。绕 x 和 y 轴的旋转不保持真空，并且生成这些旋转的 SO(3) 规范场的分量变为质量化的矢量介子。在 Schwinger 模型中，有两个质量化的 W 介子，其质量由质量尺度 A 决定，以及一个无质量的 U(1) 规范玻色子，类似于光子。

Schwinger 模型预测在电弱统一尺度上存在磁单极子，并且不预测 Z 介子。它不像自然界那样适当地破坏电弱对称性。但在历史上，与这个模型类似的模型（但不使用希格斯机制）是第一个将弱力和电磁力统一起来的模型。

标准模型希格斯机制

标准模型电弱部分的规范群是 $\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ 。希格斯机制由一个标量场实现，该标量场是具有弱超荷 -1 的弱 SU(2) 双重态，它具有四个实分量或两个复分量，并且在 SU(2) 下作为旋量进行变换，在 U(1) 旋转下乘以一个相位。请注意，这与两个在 U(1) 下混合的复旋量不同，后者将具有八个实分量，而这是一个 U(2) 群的旋量表示——乘以一个相位将复旋量的实部和虚部混合在一起。

SU(2) 群是所有酉矩阵，即在二维复向量空间中所有正交坐标变换。将坐标旋转使得第一个基向量指向 $H$ 的方向，使得 H 的真空期望值为旋量 $(A,0)$ 。绕 x、y、z 轴旋转的生成元是泡利矩阵 $\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}$ 的一半，因此，绕 z 轴旋转角度 $\theta$ 将真空变为

(Ae^{i\theta /2},0)\,

虽然 X 和 Y 生成元混合了上、下分量，但 Z 旋转仅乘以一个相位。这个相位可以通过一个角度为 $\theta /2$ 的 U(1) 旋转来消除，因为希格斯具有电荷 -1。在 SU(2) z 旋转和 U(1) 旋转 $\theta /2$ 下，真空是保持不变的。这种生成元组合

Q=W_{z}+{Y/2}\,

定义了未破缺的规范群，其中

W_{z}

是 SU(2) 中绕 z 轴旋转的生成元，而 Y 是 U(1) 的生成元。这种生成元组合——在 SU(2) 中执行 z 旋转，同时以一半的角度执行 U(1) 旋转——保持真空状态，并在标准模型中定义了未破缺的规范群。该方向上规范场的组成部分保持无质量，而这个规范场就是实际的光子。

场在这种生成元组合下获得的相位就是它的电荷，而这是标准模型中电荷的公式。在这种约定中，标准模型中所有 Y 电荷都是 $1/3$ 的倍数。为了使标准模型中的所有 Y 电荷成为整数，你可以通过将所有 Y 电荷乘以三来重新缩放公式中的 Y 部分，并将电荷公式重写为 $Q=W_{z}+Y/6$ ，但 Y/2 的归一化是普遍的标准。

仿射希格斯机制

恩斯特·斯蒂克尔贝格通过分析具有大质量光子的量子电动力学理论，发现了希格斯机制的一个版本。斯蒂克尔贝格的模型是正则墨西哥帽阿贝尔希格斯模型的极限，其中真空期望值 H 趋于无穷大，希格斯场的电荷趋于零，以使它们的乘积保持固定。希格斯玻色子的质量与H成正比，因此希格斯玻色子变得无限大并消失。矢量介子质量等于乘积 $eH$ ，并保持有限。

解释是，当 U(1) 规范场不需要量子化的电荷时，可以只保留希格斯振荡的角度部分，而丢弃径向部分。希格斯场的角度部分 $\theta$ 具有以下规范变换定律

\theta +e\alpha \,

A\rightarrow A+\alpha \,

角度的规范协变导数（实际上是规范不变的）是

D\theta =\partial \theta -eA\,

为了使 $\theta$ 涨落在这个极限中保持有限且非零， $\theta$ 应该乘以 H 进行重新缩放，以便它在作用量中的动能项保持归一化。theta 场的作用量可以通过代入 $\scriptstyle \phi =He^{i\theta /H}$ 从墨西哥帽作用量中读出。

S=\int {1 \over 4}F^{2}+{1 \over 2}(D\theta )^{2}=\int {1 \over 4}F^{2}+{1 \over 2}(\partial \theta -HeA)^{2}=\int {1 \over 4}F^{2}+{1 \over 2}(\partial \theta -mA)^{2}

由于 $\scriptstyle eH$ 是规范玻色子的质量。通过进行规范变换，使 $\scriptstyle \theta =0$ ，消除了作用量中的规范自由度，作用量就变成了一个有质量的矢量场的形式。

S=\int {1 \over 4}F^{2}+{m^{2} \over 2}A^{2}\,

为了获得任意小的电荷，需要U(1)不是复数单位圆在乘法下的集合，而是实数R在加法下的集合，它们只是在全局拓扑上有所不同。这样的U(1)群是非紧的。场 $\theta$ 作为规范群的仿射表示进行变换。在允许的规范群中，只有非紧的U(1)才允许仿射表示，并且电磁的U(1)被实验证明是紧的，因为电荷量子化现象在极高的精度上都成立。

这种模型中的希格斯凝聚体具有无穷小的电荷，因此与希格斯玻色子的相互作用不会违反电荷守恒。具有质量光子的量子电动力学仍然是一个可重整化理论，电荷仍然守恒，但磁单极子不允许存在。对于非阿贝尔规范理论，不存在仿射极限，希格斯振荡的质量不能比矢量粒子大太多。

进一步的结果，例如对于费米子

尽管引入了自发对称破缺，但对于费米子来说，质量项也与规范不变性相抵触。因此，对于这些场来说，质量项也应该用规范不变的“希格斯机制”来代替。一个显而易见的可能性是在费米子场ψ和希格斯场Φ之间存在某种“汤川耦合”（见下文），具有未知耦合 $G_{\psi }$ ，在对称破缺后（更准确地说：在拉格朗日密度围绕合适的基态展开后），又导致了原始质量项，这些质量项现在（即通过引入希格斯场）以规范不变的方式写出来。费米子场ψ和希格斯场Φ的“汤川”相互作用的拉格朗日密度为

{\mathcal {L}}_{\mathrm {Fermion} }(\phi ,A,\psi )={\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\psi +G_{\psi }{\overline {\psi }}\phi \psi \,,

其中规范场A只出现在 $D_{\mu }$ 中（即，它只是间接可见的）。量 $\gamma ^{\mu }$ 是狄拉克矩阵， $G_{\psi }$ 是前面提到的“汤川”耦合参数。现在，质量生成遵循与上面相同的原理，即从有限期望值 $|\langle \phi \rangle |$ 的存在而来，如上所述。同样，这对于“质量”属性的存在至关重要。