量子场论/QFT 施温格-戴森方程

在量子场论中，作用量由场配置的泛函 S 给出（它仅局部依赖于场），则多项式有界泛函 F 的时间排序真空期望值 <F> 由下式给出

$<F>={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{iS[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]}}}$

事实上，经典情况下的壳上方程通常有其量子模拟，因为，从手波的角度来看，当在配置空间中明显偏离壳的区域积分时，快速振荡的相位往往会产生“相消干涉”，而在接近壳的区域，我们往往会看到“相干干涉”。

例如，壳上欧拉-拉格朗日方程的模拟是什么？${\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]=0$?

如果泛函测度${\mathcal {D}}\phi$ 证明是平移不变的（在本文的其余部分我们将假设这一点，尽管这对于非线性西格玛模型来说并不成立），并且如果我们假设在维克旋转之后

$e^{iS[\phi ]}$,

现在变成

$e^{-H[\phi ]}$

对于某些H，比任何多项式的倒数衰减得更快，则通过分部积分（在维克旋转后，再进行维克旋转回来）得到以下施温格-戴森方程

$<{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]>=-i<F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]>$

对于任何多项式有界泛函F。

这些方程是壳上 EL 方程的模拟。

如果 J（称为源场）是场配置的对偶空间的元素（由于泛函测度的平移不变性假设，它至少具有仿射结构，则源场的生成泛函 Z 定义为

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i(S[\phi ]+<J,\phi >)}$

注意

${\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}Z[J]<\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})>_{J}$

其中

$<F>_{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi F[\phi ]e^{i(S[\phi ]+<J,\phi >)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i(S[\phi ]+<J,\phi >)}}}$

基本上，如果将 ${\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]}$ 视为一个函数分布（这不应该被过于直白地解释为量子场论的解释，不像它的维克旋转统计力学类似物，因为我们在这里有时间排序的复杂性！），那么 $<\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})>$ 是它的矩，而 Z 是它的傅里叶变换。

如果 F 是 φ 的一个泛函，那么对于算子 K，F[K] 被定义为将 K 代替 φ 的算子。例如，如果 $F[\phi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\phi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\phi (x_{n})$ 并且 G 是 J 的一个泛函，那么 $F[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J]$.

然后，从泛函积分的性质，我们得到“主”施温格-戴森方程

${\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]+J(x)Z[J]=0$

如果泛函量度不是平移不变的，则可以将其表示为乘积$M[\phi ]{\mathcal {D}}\phi$，其中 M 是一个泛函，${\mathcal {D}}\phi$ 是一个平移不变的量度。例如，对于目标空间与 Rⁿ 微分同胚的非线性 σ 模型，情况就是这样。然而，如果目标流形是某个拓扑非平凡的空间，平移的概念甚至没有意义。

在这种情况下，我们需要用另一个泛函${\hat {S}}=S-i\ln(M)$ 来代替此方程中的 S。

如果我们将此方程展开为关于 J=0 的泰勒级数，我们将得到完整的施温格-戴森方程组。

那么关于经典情况下的壳 诺特定理 呢？它也有量子模拟吗？是的，但有一个前提。泛函量度也必须在对称变换的一参数群下保持不变。

让我们看看它是如何运作的。为了简单起见，我们假设这里所讨论的对称性是局部的（我的意思不是规范意义上的局部。我的意思是局部，即在无穷小变换下，场在任何给定点的变换值只依赖于该点在任意小邻域内的场配置）。我们还假设作用是局部的，即它是在时空上对拉格朗日量的积分，并且$Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)$ 对于某个函数 f，其中 f 仅局部依赖于 φ（以及可能依赖于时空位置）。如果我们不假设任何特殊的边界条件，这在一般情况下不会是真正意义上的“真实”对称性，除非 f=0 或类似情况。这里，Q 是一个生成一参数群的导数。我们也可以有反导数，例如 BRST 和超对称性。我们还假设

$\int {\mathcal {D}}\phi Q[F][\phi ]=0$ 对于任何多项式有界泛函 F。此性质称为量度的不变性。并且它在一般情况下不成立。有关详细信息，请参阅 反常 (物理学)。

那么，

$\int {\mathcal {D}}\phi Q[Fe^{iS}][\phi ]=0$，这意味着

$<Q[F]>+i<F\int _{\partial V}f^{\mu }ds_{\mu }>=0$，其中积分是在边界上进行的。这就是量子模拟。

现在，让我们进一步假设 Q 是一个局部积分 $Q=\int d^{d}xq(x)$ 其中 q(x)[φ(y)]=δ^(d)(x-y)Q[φ(y)]，这样 $q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)$ 其中 $j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}(x)Q[\phi ]$（假设拉格朗日量只依赖于 φ 及其一阶偏导数！更一般的拉格朗日量需要修改这个定义！）。注意我们没有坚持认为 q(x) 是对称性的生成元（也就是说，我们没有坚持规范原理），而只是 Q 是。并且，我们假设一个更强的假设，即泛函测度是局部不变的

$\int {\mathcal {D}}\phi q(x)[F][\phi ]=0$.

那么，我们将有

$<q(x)[F]>+i<Fq(x)[S]>=<q(x)[F]>+i<F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)>=0$

或者

$q(x)[S][-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)][-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]+J(x)Q[\phi (x)][-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]=0$

以上两个方程是 **Ward-Takahashi 恒等式**。

现在，对于 f=0 的情况，我们可以忘记所有边界条件和局部假设。我们将简单地得到

<Q[F]>=0。

或者

$\int d^{d}xJ(x)Q[\phi (x)][-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]=0$

一个例子： φ⁴

举个例子，假设

$S[\phi ]=\int d^{d}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi (x)\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi (x)^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi (x)^{4}\right)$

对于一个实场 φ。

那么，

${\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}=-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi (x)-m^{2}\phi (x)-{\frac {\lambda }{3!}}\phi (x)^{3}$.

这个特定例子中的 Schwinger-Dyson 方程是

$i\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]+im^{2}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]-{\frac {i\lambda }{3!}}{\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}Z[J]+J(x)Z[J]=0$

注意，因为 ${\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}$ 没有明确定义（${\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x_{1})\delta J(x_{2})\delta J(x_{3})}}Z[J]$ 是 x₁、x₂ 和 x₃ 中的分布），这个方程需要正则化！