量子场论/自由场的量子化

自旋0场

实标量场和复标量场。

实标量场$\phi$的运动方程可以从以下拉格朗日密度得到

${\begin{matrix}{\mathcal {L}}&=&{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}M^{2}\phi ^{2}\\&=&-{\frac {1}{2}}\phi \left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+M^{2}\right)\phi \end{matrix}}$

结果是$\left(\Box +M^{2}\right)\phi (x)=0$。

复标量场$\phi$可以被认为是两个标量场的和：$\phi _{1}$和$\phi _{2}$，$\phi =\left(\phi _{1}+i\phi _{2}\right)/{\sqrt {2}}$

复标量场的拉格朗日密度为

${\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi )^{+}\partial ^{\mu }\phi -M^{2}\phi ^{+}\phi$

克莱因-戈尔登方程

克莱因-戈尔登方程正是上面推导出的自旋0粒子的运动方程：$\left(\Box +M^{2}\right)\phi (x)=0$

自旋1/2场

狄拉克方程

狄拉克方程由下式给出：

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \left(x\right)=0$

其中$\psi$ 是一个四维狄拉克旋量。 $\gamma$ 矩阵满足以下反交换关系（称为狄拉克代数）：

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\equiv \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }\times 1_{n\times n}$

需要注意的是，狄拉克代数并没有预先定义矩阵的维数。然而，对于四维闵可夫斯基空间，矩阵至少必须是$4\times 4$。