量子力学/复波

在量子力学中，我们感兴趣的是薛定谔方程的可重整化解。一类实现此目的的函数是复指数函数，我们可以将薛定谔方程的解写成两个复指数函数的和

$\Psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$

这是波的叠加，一个从左边传播，另一个从右边传播。k 是波数，单位为 1/m，通常由 $2*\pi /L$ 给出，其中 L 由边界条件决定。

让我们考虑一个从左到右传播的波的情况。在区间 (-$\infty$,0) 上，V(x)<E(x)，而从 [0, $\infty$) 上，V(x)>E(x)，薛定谔方程的解具有以下形式：

$\Psi (x)=Ae^{i{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E(x)-V(x))}}x}+Be^{-i{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E(x)-V(x))}}x}$

在第一个区间上，以及

$\Psi (x)=Ce^{{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E(x)-V(x))}}x}+De^{-{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E(x)-V(x))}}x}$

在第二个区间上

尽管乍一看我们的波方程看起来像普通指数函数的叠加，但它仍然是一个复波，因为平方根内的项为负，这使得我们始终可以得到可重整化的解。