量子力学/量子波函数的意义
在经典图像中，我们通常处理粒子的位置和动量。从这些信息中，我们可以得到关于系统的全部物理信息。
然而，很容易看出这种方法在量子力学中会遇到严重的困难。如果我们暂时将不确定性原理作为量子力学的定义，那么，粒子的位置就没有简单的意义，因为其中存在着固有的不确定性。
在量子力学中，谈论某个特定位置 *和* 动量是错误的。
为了解决这个问题，我们不将粒子赋予一个特定的位置值（或动量值），而是将找到粒子的概率分配给空间中的每个点。我们可以同样定义它具有特定动量的概率，但这虽然同样有效，但最初并不有用。
因此，在量子力学中，我们有一个波函数，它包含了关于系统的所有信息，正如我们将会看到的。通常情况下，这个波函数是复数。这个波函数的模方是系统的概率分布。
现在，位置（或动量）不再是一个变量，而是一个算符。在了解它如何运作之前，让我们稍微偏离一下，以便更好地理解算符。
例如，考虑一个双态系统。所谓双态系统是指某个特定属性（例如颜色）只能取两个值（例如红色和蓝色）。现在，系统的波函数将是这些状态的混合。假设当粒子“确定性”为红色时，其波函数为 R，而当粒子“确定性”为蓝色时，其波函数为 B。因此，系统的通用波函数 *W* 是两个波函数的线性组合。
其中 是粒子为红色的概率。由于这是一个双态系统，。请注意，一般情况下， 和 可能是复数，这就是为什么我们必须使用 而不是 来获得一个真实的概率。
现在，重磅消息。量子力学的根本假设是，任何测量都会 *将系统送入该算符的本征态之一*。本征态是指不受算符影响的系统状态。
在这个例子中，当我们测量系统的颜色时，我们用一个颜色算符乘以它，这个算符将波函数转换为颜色，红色或蓝色。
因此，量子力学说，如果你对颜色进行测量，你永远不会发现系统是红色和蓝色的混合物！你只是有时会发现它为红色，有时会发现它为蓝色，并且具有相应的概率。
如果你要测量系统的其他属性，你可能会发现它处于一种你可以推断出其颜色混合的状态，但你无法观察到这种混合。不确定性原理源于这种现象。
测量不过是在我们的波函数上作用相应的算符。请记住，一旦我们在我们的波函数上作用了一个算符，系统就已经“坍缩”到它的本征态之一（允许状态）。任何随后的测量将产生相同的结果，因为系统不再是所有这些本征态的混合。
要看到上面提到的概率效应，你需要从头开始准备系统。换句话说，在进行测量之前，准备系统的无限个心理副本（一个系综），然后对每个副本进行相同的测量。
回到位置；这是一个特殊的算符，因为它的频谱（本征值的范围）是连续的。我们的示例具有离散的（两级）系统。对于这种算符，计算过程的细节变得更加复杂，但基本原理保持完全相同。
现在会发生什么？我们知道量子力学应该在足够大的尺度上还原为经典力学。对于单个粒子，这个波函数在“经典位置”附近达到峰值，标准差约为 h。因此，在正常尺度上，我们不会看到粒子的这种“模糊性”。
为了了解结果如何与经典力学相匹配，我们可以使用“期望值”的概念。算符的期望值只是其本征值的平均值，以相应的概率加权。可以证明，位置和动量的期望值与经典位置和动量之间的关系类似。