量子力学/算符和对易子

为什么是算符？

当我们处理薛定谔方程或量子力学的任何其他公式时，无法找到属性的精确值。相反，我们使用算符。

薛定谔方程最简单的表达方式是$${\hat {E}}\Psi ={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\Psi +V({\hat {x}})\Psi$$ 表明能量 = 动能 + 势能。

现在，如果我们不使用能量和动量的算符，这看起来可能会非常简单。我们可以简单地除以波函数 Ψ。但就像大多数事情一样，它永远不会简单。能量算符作用于波函数，动量算符也是如此。因此，我们需要找到波函数才能理解这个方程。

几个常见算符的概述

尽管从理论上讲我们可以提出无限数量的算符，但在实践中，有一些算符比其他算符重要得多。

动量

动量算符是

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$

因此，薛定谔方程的相关部分将变为

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\partial }^{2}}{{\partial x}^{2}}}\Psi$

能量

能量算符是

${\hat {\epsilon }}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

所以薛定谔方程现在看起来像

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V(x)\Psi$

如您所见，这现在是一个微分方程，它是否容易求解取决于势$V(x)$。

请注意，这是薛定谔方程的一维形式，对于更高维数，它会变得更加复杂。

哈密顿量

我们经常将这个方程的右手边称为哈密顿算符。

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\partial }^{2}}{{\partial x}^{2}}}+V(x)$

它代表质量为 m 的粒子在势场 V 中的总能量。

期望值

在量子力学中，一切都是概率性的（例如，找到一个粒子的概率是波函数幅度的平方）。所以我们经常想知道位置、动量或其他任何东西的期望值，有一个非常好的方法可以做到这一点。

$\langle {\hat {K}}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}{\hat {K}}\Psi dx$

例如，如果你知道波函数并想要找到动量的期望值，你可以使用以下公式：

$\langle {\hat {p}}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}{\Bigg (}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigg )}\Psi dx$

狄拉克符号 (Bra-Ket 符号)

为了简化符号，保罗·狄拉克提出了一种新的书写状态的方式

$|n\rangle \equiv \Psi _{n}$

即一个 ket

$\langle n|\equiv \Psi _{n}^{*}$

即一个 bra

所以动量期望值的表达式现在可以写成

$\langle {\hat {p}}\rangle =\langle n|{\hat {p}}|n\rangle$

这种符号被广泛使用。它在由矩阵和状态向量表示的有限维问题中非常有用。在二维中，使用量子位 (主要用于量子信息论)，其中

$|0\rangle$

和

$|1\rangle$

是状态向量。

有关狄拉克符号的更多信息，请参见 维基百科：Bra-ket 符号

对易子

"你知道为什么四减一加十等于十四减一吗？因为加法是对易的，对吧？" - 汤姆·莱勒

对易子在量子力学中非常重要。它们不仅是海森堡发现不确定性原理的方式，而且经常用于粒子物理学中。众所周知，如果两个物理量不满足对易，则你无法同时知道它们的数值。

对易子的数学定义

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$

如果它们满足对易，则此值为 0，否则为其他值。

正如你可能已经看到的那样，所有自然数都满足对易。例如

$[6,7]=6*7-7*6=42-42=0$

但是，如果我们看看动量和位置，事情开始变得有趣起来。

${\begin{matrix}[{\hat {p}},{\hat {x}}]\Psi &=&({\hat {p}}{\hat {x}}-{\hat {x}}{\hat {p}})\Psi \\&=&-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}(x\Psi )+ix\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}(\Psi )\\&=&-i\hbar \Psi -ix\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial x}}+ix\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\\&=&-(i\hbar )\Psi \end{matrix}}$

$[{\hat {p}},{\hat {x}}]=-i\hbar$

本质上，这意味着在给定的时间点，你不可能同时精确地知道一个粒子的位置和动量。不存在既是位置算符又是动量算符的本征函数的波函数，因此系统不可能同时具有确定的动量值和确定的位置值。

但是，如果我们看一下动量和能量之间的对易子，

${\begin{matrix}[{\hat {p}},{\hat {\epsilon }}]\Psi &=&{\hat {p}}{\hat {\epsilon }}\Psi -{\hat {\epsilon }}{\hat {p}}\Psi \\&=&-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi )-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi )\\&=&\hbar ^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial }{\partial t}}\Psi )-\hbar ^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}({\frac {\partial }{\partial x}}\Psi )\\&=&0\end{matrix}}$

由此，我们知道动量和能量是对易的。因此，我们可以找到能量和动量的同时本征函数，这些函数具有这两个可观测量的确定值。