量子力学/微扰理论

简介

微扰能谱

微扰理论是一种非常重要的方法，可以用来观察量子体系在势能发生微小变化时将受到怎样的影响。因此也影响了哈密顿量。

微扰理论围绕着将势能表示为多个（通常是两个）独立的势能，然后观察第二个势能如何影响体系。

它使我们能够获得对于体系的良好近似值，在这些体系中，特征态并不都容易找到。

在现实生活中，很少有哈密顿量是可以精确求解的。大多数现实生活情况都需要一些近似方法来求解它们的哈密顿量。微扰理论就是其中之一。微扰指的是小的扰动。请记住，体系的哈密顿量只不过是体系的总能量。一些外部因素总是会影响体系的能量及其行为。为了分析体系的能量，如果我们不知道精确的求解方法，那么我们可以研究外部因素（微扰）对哈密顿量的影响。例如，我们可以通过在弹簧上施加载荷来研究弹簧的弹性特性。通过这种方式，我们可以近似地预测相关体系的特性。作用在体系上的微扰有两种类型：时间相关的和时间无关的，因此存在相应的时间相关的和时间无关的理论。我们必须将哈密顿量分成两部分。一部分是哈密顿量，我们知道它的精确解，另一部分是微扰项。通过这种方式，我们可以用非常好的近似来解决问题。在量子力学中，这种方法的一个例子是，我们可以使用氢原子的哈密顿量来解决氦离子的问题。

一阶修正

能量

能量的一阶修正由下式给出

$\epsilon _{n}^{(1)}=\langle n|V|n\rangle =\int \Psi _{n}^{(0)^{\star }}(x){\hat {V}}(x)\Psi _{n}^{(0)}(x)dx$

波函数的一阶修正为

$C_{k}^{(1)}={\frac {\langle k|V|n\rangle }{\epsilon _{n}^{(0)}-\epsilon _{k}^{(0)}}}$

证明

令 ${\hat {H}}_{0}$ 是一个哈密顿量，其中所有特征态都是已知的。

${\hat {H}}_{0}\Psi _{n}^{(0)}=\epsilon _{n}^{(0)}\Psi _{n}^{(0)}\qquad n\in \mathbb {N} \qquad (1)$ $({\hat {H}}_{0}+{\hat {V}})\Psi =\epsilon \Psi \qquad (2)$

现在将 $\Psi$ 表示为所有部分的线性组合，

$\Psi =\sum c_{m}\Psi _{m}^{(0)}$

并将它代入 (2) 中。