量子力学/对称性和量子力学

对称性的概念在物理学中扮演着重要的角色。我们已经在相对论中使用过对称性论证 - 将相对性原理应用于获得相对论物质波的色散关系就是一个这样的论证。在本节中，我们将开始探索如何使用对称性来加深我们对量子力学的理解。

自由粒子

具有确定动量P和能量E的自由粒子的波函数由下式给出

$\psi =\exp i(kx-\omega t)=\exp i{\frac {Px-Et}{\hbar }}$

对于这个波函数 |ψ|²=1 在任何地方都成立，因此在空间和时间的任何地方找到粒子的概率都是均匀的 - 就像粒子的能量一样。

这与如果我们假设自由粒子具有波函数，那么出现的概率分布形成对比

$\psi =\sin {\frac {Px-Et}{\hbar }}\quad |\psi |^{2}=\sin ^{2}{\frac {Px-Et}{\hbar }}$

在这种情况下，概率随位置和时间变化，这与均匀概率分布不一致。这个解不如问题对称。

对称性和确定性

量子力学是一个概率理论，因为它做出的预测告诉我们，例如，找到一个粒子在空间中的某个位置的概率。如果我们对粒子的先前历史一无所知，并且没有物理约束使粒子更有可能出现在轴上的一个点而不是另一个点，那么概率分布必须是P(x)=常数。

这是一个对称性论证的例子。更正式地说，它指出，如果上述条件适用，那么概率分布应该满足条件P(x+d)=P(x) 对于d 的任何常数值。这只有在P(x) 是一个常数的情况下才能成立。

用物理学的语言来说，如果没有东西使粒子在某一点比在另一点有更高的概率，那么概率与位置无关，系统在该方向上的位移下是不变的。

上述论证不足以说明量子力学，因为正如我们所学到的，描述粒子的基本量不是概率分布，而是波函数。因此，波函数而不是概率分布应该是对位移不变的量。

这个条件过于严格，因为它意味着ψ 是一个常数，但我们知道，描述沿着轴线均匀找到粒子的概率的一维平面波的形式为

$\psi =\exp ikx\,$

（为了简单起见，我们暂时忽略时间依赖性。）如果我们在平面波中进行替换x→x+d，我们得到

$\psi =\exp ik(x+d)=\exp ikd\exp ikx\,$

因此，波函数在技术上不对位移不变，因为位移后的波函数乘以因子 exp(ikd)。但是，位移后波函数的概率分布仍然在任何地方都等于 1，因此我们观察到的内容没有变化。

因此，在确定对位移的不变性时，我们被允许忽略波函数的变化，这些变化仅由将其乘以绝对值为 1 的复数常数构成；即 exp(iα) 的形式，其中 α 为实数。这种乘法常数称为相位因子，而 α 称为相位。

通过反复试验或更复杂的方法，很容易让人信服，满足此条件的唯一形式的波函数是

$\psi =A\exp ikx\,$

其中A 是一个（可能是复数的）常数。这只是具有波数k 的复指数平面波的形式。因此，不仅复指数波函数以上述方式对位移不变，它也是唯一对位移不变的波函数。此外，对于此类平面波的位移d 出现的相位因子采用 exp(ikd) 的形式，其中k 是平面波的波数。

例如，让我们看看波包是否对位移不变。让我们定义一个由两个平面波组成的波包

$\psi =e^{ik_{1}x}+e^{ik_{2}x}$

在这种情况下，进行替换x→x+d 会导致

${\begin{matrix}\psi &=&e^{ik_{1}(x+d)}+e^{ik_{2}(x+d)}\\&=&e^{ik_{1}d}e^{ik_{1}x}+e^{ik_{2}d}e^{ik_{2}x}\\&\neq &\left[e^{ik_{1}(x+d)}+e^{ik_{2}(x+d)}\right]e^{i\alpha }\end{matrix}}$

无论 α 的取值如何。

将位移后的波函数写成原始波函数乘以相位因子的形式是不可能的，这一事实为以下论点提供了依据：单个复指数是唯一可能的、在位移下不变的波函数形式。

注意，波包没有确定的波数，因此也没有确定的动量。特别是，与该粒子相关的波函数可能具有动量 $\hbar k_{1}$ 或 $\hbar k_{2}$，其振幅不为零。从不确定性原理的角度来看，这是有意义的——对于单一平面波，位置的不确定性是完全的，而动量的不确定性为零。对于波包，位置的不确定性减小，而动量的不确定性不为零。

然而，我们看到这个想法可以进一步扩展：一个确定的动量值必须与位置上的完全不确定概率分布相关联。这对应于具有复指数平面波形式的波函数。

然而，这种平面波在位移 *d* 下是不变的，除了一个相乘的相位因子，该因子没有物理意义，因为它在获得概率分布时会消失。因此，我们看到波函数在位移下的不变性和动量的确定值是相互关联的，它们相互暗示。

位移下的不变性 ⇔ 确定的动量

我们可以将这与经典力学进行比较，在经典力学中，我们看到如果能量在位移下是不变的，那么动量是守恒的，对广义坐标也是如此。

上述等价关系也可以扩展到任意坐标。

特别是，由于复指数平面波的时间依赖性是

$e^{-i\omega t}=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

根据上述论点的类比，我们有

时间位移下的不变性 ⇔ 确定的能量

因此，波函数在时间位移下的不变性意味着相关粒子的能量具有一个确定的值。

另一个有用的例子是

旋转下的不变性 ⇔ 确定的角动量

因为旋转和角动量之间的相同联系与经典力学中的一样。

在上一章中，我们假设通过可变势能区域的粒子具有确定的、恒定的频率（因此也具有确定的能量）。现在我们看到，只有当势能不随时间变化时，这个假设才成立。这是因为随时间变化的势能消除了时间位移下的不变性。

兼容变量

我们已经知道，在量子力学中，某些变量对的确定值不能同时获得。例如，位置和动量的不确定性由不确定性原理关联——位置的确定值意味着动量的非确定值，反之亦然。如果两个变量的确定值可以同时获得，那么我们称这些变量为兼容的。如果不是，这些变量就是不兼容的。

如果粒子的波函数在与这两个变量相关的变换下保持不变，那么这些变量就是兼容的。例如，与自由粒子相关的复指数平面波在空间和时间位移下保持不变。由于动量与空间位移相关，能量与时间位移相关，因此动量和能量是自由粒子的兼容变量。

兼容性和守恒

与能量兼容的变量具有特殊地位。与这种变量的确定值对应的波函数在时间位移下保持不变。因此，如果波函数在某个特定时间也对其他变换保持不变，那么它在所有时间都对该变换保持不变。因此，与该变换相关的变量在所有时间都保持其确定的值——即它是守恒的。

例如，复指数平面波意味着能量具有一个确定的值，因此在时间位移下保持不变。在时间 *t'=0* 时，它也对位移保持不变，这对应于它代表一个动量已知值的粒子。然而，由于动量和能量对于自由粒子是兼容的，因此波函数将在所有其他时间都代表相同的动量值。

换句话说，如果动量在 *t*=0 时是确定的，那么它在所有后续时间都将是确定的，并且将具有相同的值。这就是动量守恒（以及扩展到任何其他与能量兼容的变量的守恒）如何在量子力学中表达的。

我们将在后面看到如何用算子来描述这一点。