量子力学/氢原子

氢原子

介绍

现在您可能已经熟悉了玻尔原子模型，它对分类基本原子光谱线的位置非常有帮助。然而，玻尔幸运的是，不止一次。氢原子是量子力学中为数不多的几个我们几乎能够精确求解的系统之一。这使得它作为其他量子力学系统的模型，以及作为原子本身行为的模型，非常有用。

基础

我们可以假设氢原子受库仑势支配，即

$V(r)=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}$

因此，$H\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\Psi }{dx^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}$

显然，通过观察，我们可以看到氢原子是一个球形系统。因此，在球坐标中处理氢原子更有意义。在这一点上应该记住，通过变量分离，你可以得到三维空间中球形拉普拉斯算子的解

$\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}$

当我们在哈密顿量内使用变量分离时，该函数的解给我们两个不同的函数，径向波函数（现在没有用，但值得知道）

$A\cdot J_{l}\left(Z_{nl}{\frac {r}{a}}\right)$

其中$J_{l}$是 l 型的球形贝塞尔函数，而$Z_{nl}$是这些贝塞尔函数的零点。

另一个分量，角分量是球谐函数，它们在维基百科中进行了详细的探讨。

计算

本质上，我们现在领先一步。我们已经知道答案。氢波函数将必须包含拉普拉斯算子的球形解，并将与角分量和径向分量都有关。这是最幸运的；对于我们来说，试图在做氢原子时求解拉普拉斯算子将会很困难。然而，我们还有一些任务。情况必须归一化，我们必须处理我们的势有一个讨厌的 r 依赖性这一事实。

结果

我们最终得到了你一直以为我们会得到的答案。我们可以将氢波方程写成

$\Psi _{nlm}(r,\phi ,\theta )=R_{nl}(r)Y_{m}^{l}(\theta ,\phi )$

其中 $Y_{m}^{l}(\theta ,\phi )$ 是球谐函数。